Чтобы решить уравнение ( 2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0 ), давайте начнем с замены переменной для упрощения решения.
Шаг 1: Замена переменной
Пусть ( y = 2^x ). Тогда ( 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 ). Подставим эту замену в уравнение:
[
y^2 - 6y + 8 = 0
]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = 8 ).
Подставим эти значения в формулу:
[
y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}
]
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}
]
[
y = \frac{6 \pm 2}{2}
]
Теперь вычислим два возможных значения для ( y ):
- ( y = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
- ( y = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
Шаг 3: Обратное преобразование
Теперь вернемся к исходной переменной ( x ):
Если ( y = 4 ):
[
2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2
]
Если ( y = 2 ):
[
2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1
]
Шаг 4: Ответ
Таким образом, мы нашли два решения для данного уравнения:
[
x = 2 \quad \text{и} \quad x = 1
]
Теперь вы знаете, как решить это уравнение! Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
