Бригада маляров красит забор длиной 280 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 70 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор. 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 93 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 7 метров туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней. 4. Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр  — на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров? 5. Грузовик перевозит партию щебня массой 511 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

Давайте последовательно решим каждую из задач с подробными объяснениями. ### Задача 1 **Состояние:** Бригада маляров красит забор длиной 280 метров, увеличивая норму покраски ежедневно. За первый и последний день в сумме покрашено 70 метров. Обозначим: - \( x \) - количество метров, красящихся в первый день. - \( d \) - увеличиваемая норма покраски каждый день. - \( n \) - общее количество дней. Согласно условию, в первый день покрасили \( x \) метров, а в последний день - \( x + (n-1)d \) метров. Тогда справедливо равенство: \[ x + (x + (n-1)d) = 70 \] \[ 2x + (n-1)d = 70 \quad (1) \] Также известно, что общая длина забора составляет 280 метров: \[ nx + \frac{(n-1)nd}{2} = 280 \quad (2) \] (второй член формулы - это сумма арифметической прогрессии). Выразим \( d \) из уравнения (1): \[ (n-1)d = 70 - 2x \implies d = \frac{70 - 2x}{n-1} \quad (3) \] Подставим \( d \) из (3) в (2): \[ nx + \frac{(n-1)n(70 - 2x)}{2(n-1)} = 280 \] Упрощаем: \[ nx + \frac{n(70 - 2x)}{2} = 280 \] Домножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 2nx + n(70 - 2x) = 560 \] \[ 2nx + 70n - 2nx = 560 \] \[ 70n = 560 \implies n = 8 \] Теперь можем найти \( x \): Подставим \( n = 8 \) в (1): \[ 2x + 7d = 70 \quad (4) \] И найдем \( d \): Подставив \( n = 8 \) в (3): \[ d = \frac{70 - 2x}{7} \] Теперь подставим \( d \) в (4): \[ 2x + 7\left(\frac{70 - 2x}{7}\right) = 70 \] Тогда: \[ 2x + 70 - 2x = 70 \implies 70 = 70 \] Это будет верно для любого \( x \). Значит, можно взять \( x = 0 \) и \( d = 10 \): - 1 день: 0 метров - 2 день: 10 метров - 3 день: 20 метров - 4 день: 30 метров - 5 день: 40 метров - 6 день: 50 метров - 7 день: 60 метров - 8 день: 70 метров Таким образом, за 8 дней бригада маляров закончила работу. ### Задача 2 **Состояние:** Рабочие прокладывают тоннель длиной 93 метра, за первый день прокладывают 7 метров. Обозначим: - \( d \) - увеличиваемая норма прокладки. - \( n = 6 \) - общее количество дней. Система уравнений: 1. \( 7 + (7 + (n - 1)d) = 93 \) 2. \( nx + \frac{(n - 1)nd}{2} = 93 \) Подставляем \( n = 6 \): \[ 7 + (7 + 5d) = 93 \] Упрощаем: \[ 14 + 5d = 93 \implies 5d = 79 \implies d = 15.8 \] Расчет в последний день: \[ x_6 = 7 + 5(15.8) = 7 + 79 = 86 \] Рабочие прокладывают 86 метров в последний день. ### Задача 4 **Состояние:** Хозяин платит рабочим за копку колодца 3500 рублей за первый метр, и за каждый следующий метр на 1600 рублей больше. Обозначим: - \( n = 9 \) - глубина колодца. Платеж за каждый метр: 1. За 1 метр: \( 3500 \) 2. За 2 метра: \( 3500 + 1600 = 5100 \) 3. За 3 метра: \( 3500 + 3200 = 6700 \) 4. ... Формула для \( n \)-го метра: \[ 3500 + (n - 1) \cdot 1600 \] Теперь просчитаем все 9 метров: \[ \text{Сумма} = 3500 + 5100 + 6700 + 8300 + 9900 + 11500 + 13100 + 14700 + 16300 \] Общая сумма: \[ = 9 \times 3500 + 1600 \cdot \frac{(n-1)(n)}{2} = 3500 \cdot 9 + 1600 \cdot \frac{8 \cdot 9}{2} \] Итого, хозяин заплатит 32300 рублей. ### Задача 5 **Состояние:** Грузовик перевозит 511 тонн, за первый день 4 тонны. Обозначим: - \( d \) - увеличиваемая норма. - \( n = 14 \) дней. Система уравнений: 1. \( 4 + (4 + (n - 1)d) = 511 \) 2. \( nx + \frac{(n - 1)nd}{2} = 511 \) Подставляем \( n = 14 \): \[ 4 + (4 + 13d) = 511 \implies 8 + 13d = 511 \implies d = 38.5 \] В последний день: \[ 4 + 13(38.5) = 4 + 500.5 = 504.5 \] Таким образом, в последний день было перевезено 504.5 тонны щебня.