Бригада маляров красит забор длиной 280 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада…

Давайте последовательно решим каждую из задач с подробными объяснениями.

Задача 1

Состояние: Бригада маляров красит забор длиной 280 метров, увеличивая норму покраски ежедневно. За первый и последний день в сумме покрашено 70 метров.

Обозначим:

• \( x \) - количество метров, красящихся в первый день.
• \( d \) - увеличиваемая норма покраски каждый день.
• \( n \) - общее количество дней.

Согласно условию, в первый день покрасили \( x \) метров, а в последний день - \( x + (n-1)d \) метров. Тогда справедливо равенство: \[ x + (x + (n-1)d) = 70 \] \[ 2x + (n-1)d = 70 \quad (1) \] Также известно, что общая длина забора составляет 280 метров: \[ nx + \frac{(n-1)nd}{2} = 280 \quad (2) \] (второй член формулы - это сумма арифметической прогрессии).

Выразим \( d \) из уравнения (1): \[ (n-1)d = 70 - 2x \implies d = \frac{70 - 2x}{n-1} \quad (3) \] Подставим \( d \) из (3) в (2): \[ nx + \frac{(n-1)n(70 - 2x)}{2(n-1)} = 280 \] Упрощаем: \[ nx + \frac{n(70 - 2x)}{2} = 280 \] Домножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 2nx + n(70 - 2x) = 560 \] \[ 2nx + 70n - 2nx = 560 \] \[ 70n = 560 \implies n = 8 \]

Теперь можем найти \( x \): Подставим \( n = 8 \) в (1): \[ 2x + 7d = 70 \quad (4) \]

И найдем \( d \): Подставив \( n = 8 \) в (3): \[ d = \frac{70 - 2x}{7} \] Теперь подставим \( d \) в (4): \[ 2x + 7\left(\frac{70 - 2x}{7}\right) = 70 \] Тогда: \[ 2x + 70 - 2x = 70 \implies 70 = 70 \] Это будет верно для любого \( x \). Значит, можно взять \( x = 0 \) и \( d = 10 \):

• 1 день: 0 метров
• 2 день: 10 метров
• 3 день: 20 метров
• 4 день: 30 метров
• 5 день: 40 метров
• 6 день: 50 метров
• 7 день: 60 метров
• 8 день: 70 метров Таким образом, за 8 дней бригада маляров закончила работу.

Задача 2

Состояние: Рабочие прокладывают тоннель длиной 93 метра, за первый день прокладывают 7 метров.

Обозначим:

• \( d \) - увеличиваемая норма прокладки.
• \( n = 6 \) - общее количество дней.

Система уравнений:

1. \( 7 + (7 + (n - 1)d) = 93 \)
2. \( nx + \frac{(n - 1)nd}{2} = 93 \)

Подставляем \( n = 6 \): \[ 7 + (7 + 5d) = 93 \] Упрощаем: \[ 14 + 5d = 93 \implies 5d = 79 \implies d = 15.8 \]

Расчет в последний день: \[ x_6 = 7 + 5(15.8) = 7 + 79 = 86 \]

Рабочие прокладывают 86 метров в последний день.

Задача 4

Состояние: Хозяин платит рабочим за копку колодца 3500 рублей за первый метр, и за каждый следующий метр на 1600 рублей больше.

Обозначим:

• \( n = 9 \) - глубина колодца.

Платеж за каждый метр:

1. За 1 метр: \( 3500 \)
2. За 2 метра: \( 3500 + 1600 = 5100 \)
3. За 3 метра: \( 3500 + 3200 = 6700 \)
4. ...

Формула для \( n \)-го метра: \[ 3500 + (n - 1) \cdot 1600 \] Теперь просчитаем все 9 метров: \[ \text{Сумма} = 3500 + 5100 + 6700 + 8300 + 9900 + 11500 + 13100 + 14700 + 16300 \] Общая сумма: \[ = 9 \times 3500 + 1600 \cdot \frac{(n-1)(n)}{2} = 3500 \cdot 9 + 1600 \cdot \frac{8 \cdot 9}{2} \] Итого, хозяин заплатит 32300 рублей.

Задача 5

Состояние: Грузовик перевозит 511 тонн, за первый день 4 тонны.

Обозначим:

• \( d \) - увеличиваемая норма.
• \( n = 14 \) дней.

Система уравнений:

1. \( 4 + (4 + (n - 1)d) = 511 \)
2. \( nx + \frac{(n - 1)nd}{2} = 511 \)

Подставляем \( n = 14 \): \[ 4 + (4 + 13d) = 511 \implies 8 + 13d = 511 \implies d = 38.5 \]

В последний день: \[ 4 + 13(38.5) = 4 + 500.5 = 504.5 \]

Таким образом, в последний день было перевезено 504.5 тонны щебня.