Для решения этой задачи начнем с того, что обозначим скорости обоих автомобилей. Пусть скорость второго автомобиля равна ( v ) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет равна ( v + 16 ) км/ч.
Шаг 1: Определим время в пути для каждого автомобиля.
Время, необходимое для преодоления дистанции, можно найти по формуле:
[
\text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}.
]
Для второго автомобиля время пути составит:
[
t_2 = \frac{480}{v} \text{ часов}.
]
Для первого автомобиля время пути составит:
[
t_1 = \frac{480}{v + 16} \text{ часов}.
]
Шаг 2: Установим уравнение для разницы во времени.
По условию задачи, первый автомобиль прибывает на 1 час 30 минут (то есть 1.5 часа) раньше второго. Это можно записать как:
[
t_2 - t_1 = 1.5.
]
Шаг 3: Подставим выражения для времени в уравнение.
Теперь подставим значения:
[
\frac{480}{v} - \frac{480}{v + 16} = 1.5.
]
Шаг 4: Упростим уравнение.
Для удобства работы с дробями, сначала найдем общий знаменатель:
[
\frac{480(v + 16) - 480v}{v(v + 16)} = 1.5.
]
Упрощаем числитель:
[
\frac{480v + 7680 - 480v}{v(v + 16)} = 1.5.
]
Что дает:
[
\frac{7680}{v(v + 16)} = 1.5.
]
Шаг 5: Умножим обе стороны уравнения на ( v(v + 16) ):
[
7680 = 1.5v(v + 16).
]
Шаг 6: Упростим уравнение.
Умножим обе стороны на ( \frac{2}{3} ) (в целях избавления от десятичной дроби):
[
5120 = v(v + 16).
]
Преобразуем это уравнение в квадратное:
[
v^2 + 16v - 5120 = 0.
]
Шаг 7: Решим квадратное уравнение.
Для решения используем формулу discriminant:
[
D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5120) = 256 + 20480 = 20736.
]
Находим корень дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144.
]
Теперь можно найти корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 \pm 144}{2}.
]
Это дает два возможных решения:
[
v_1 = \frac{128}{2} = 64 \quad (\text{скорость второго автомобиля}),
]
[
v_2 = \frac{-160}{2} = -80 \quad (\text{не может быть отрицательной}).
]
Таким образом, скорость второго автомобиля ( v = 64 ) км/ч.
Шаг 8: Найдем скорость первого автомобиля.
Как мы ранее обозначили, скорость первого автомобиля:
[
v_1 = v + 16 = 64 + 16 = 80 \text{ км/ч}.
]
Ответ:
Скорость первого автомобиля составляет 80 км/ч.
