решить задачу номер 3 и 4

Давайте разберем задачи №3 и №4 по порядку.

Задача 3

Условие: Найдите больший угол между биссектрисой острого угла прямоугольного треугольника и противоположным катетом, если второй острый угол равен 26°.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет 90°. Поскольку один из острых углов равен 26°, второй острый угол \( \alpha = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ \).

2. Рассмотрим биссектрису угла \( \alpha = 64^\circ \). Биссектриса делит угол \( \alpha \) на два равных угла: \( \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ \).

3. Угол между биссектрисой и противоположным катетом будет равен \( 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \).

Ответ: \( 58^\circ \).

Задача 4

Условие: Докажите, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол против этой стороны равен 90°.

Решение:

1. Пусть \( ABC \) — треугольник, в котором медиана \( AM \) проведена к стороне \( BC \) и \( AM = \frac{1}{2} BC \).

2. Рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике. Если медиана равна половине гипотенузы, то треугольник является прямоугольным.

3. Построим точки \( D \) и \( E \) такие, что \( AD = AE = AM \). Тогда четверохугольник \( BDEC \) является параллелограммом, поскольку его противоположные стороны равны и параллельны.

4. В этом параллелограмме угол \( \angle BAC \) будет равен \( 90^\circ \), так как медиана делит гипотенузу на две равные части и соответствует центру \( M \) противоположной параллельной стороны.

Таким образом, доказывается, что угол против этой стороны действительно равен 90°.

Ответ: Угол против этой стороны равен \( 90^\circ \).