Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника ABC, где угол C равен 90° 1) AC=6см; sin угла B =¼ 2) AB=2см; ctg угла A = 3

Решим обе задачи по пунктам, начиная с первого случая.

1. Задача: \( AC = 6 \) см; \( \sin B = \frac{1}{4} \)

Шаг 1: Понять, что у нас есть

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( C \) – это прямой угол.
• \( AC \) – это одна из катетов, равный 6 см.
• \( B \) – острый угол, для которого дано значение синуса.

Шаг 2: Использовать определение синуса

По определению синуса, для угла \( B \): \[ \sin B = \frac{\text{противоположная катета}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Так как \( AC \) – это противолежащий катет, записываем: \[ \sin B = \frac{6}{AB} \]

Шаг 3: Подставить известное значение

Подставим известное значение \( \sin B = \frac{1}{4} \): \[ \frac{6}{AB} = \frac{1}{4} \]

Шаг 4: Найти \( AB \)

Перемножим обе стороны на \( AB \) и на 4: \[ 6 \cdot 4 = AB \implies AB = 24 \text{ см.} \]

Шаг 5: Найти второй катет \( BC \)

Теперь мы можем найти второй катет \( BC \) с помощью теоремы Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ 24^2 = 6^2 + BC^2 \] \[ 576 = 36 + BC^2 \] \[ BC^2 = 576 - 36 = 540 \] \[ BC = \sqrt{540} = \sqrt{36 \cdot 15} = 6\sqrt{15} \text{ см.} \]

Ответ 1:

• Гипотенуза \( AB = 24 \) см
• Второй катет \( BC = 6\sqrt{15} \) см

2. Задача: \( AB = 2 \) см; \( \cot A = 3 \)

Шаг 1: Понять, что у нас есть

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Гипотенуза \( AB = 2 \) см.
• Угол \( A \) – острый угол, значение его котангенса.

Шаг 2: Использовать определение котангенса

По определению котангенса, для угла \( A \): \[ \cot A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}} = \frac{BC}{AC} \]

Так как у нас \( \cot A = 3 \), то: \[ \frac{BC}{AC} = 3 \implies BC = 3 \cdot AC \]

Шаг 3: Рассмотрим Пифагорову теорему

Из теоремы Пифагора знаем, что: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим \( BC = 3AC \) в уравнение: \[ 2^2 = AC^2 + (3AC)^2 \] \[ 4 = AC^2 + 9AC^2 = 10AC^2 \] \[ AC^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] \[ AC = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5} \text{ см.} \]

Шаг 4: Найти \( BC \)

Теперь найдем \( BC \): \[ BC = 3AC = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{3\sqrt{10}}{5} \text{ см.} \]

Ответ 2:

• Противоположный катет \( AC = \frac{\sqrt{10}}{5} \) см
• Прилежащий катет \( BC = \frac{3\sqrt{10}}{5} \) см

Теперь у вас есть полные решения для обеих задач. Если нужны дополнительные объяснения или примеры — не стесняйтесь спрашивать!