у=√х(3х-4)

Для того чтобы понять, как решать уравнение \( u = \sqrt{x(3x - 4)} \), давайте поэтапно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Шаг 1: Понимание уравнения

Здесь мы имеем функцию \( u \), которая зависит от переменной \( x \). Эта функция представляет собой квадратный корень произведения двух выражений: \( x \) и \( (3x - 4) \).

Шаг 2: Определение области определения

Чтобы понять, при каких значениях \( x \) функция \( u \) определена, необходимо, чтобы под корнем находилось неотрицательное число, так как квадратный корень из отрицательного числа в пределах действительных чисел не определен.

Условие для \( \sqrt{x(3x - 4)} \) будем записывать следующим образом:

\[ x(3x - 4) \geq 0 \]

Шаг 3: Решение неравенства

Для решения неравенства \( x(3x - 4) \geq 0 \) найдем корни.

1. Найдем нули:
   • \( x = 0 \)
   • \( 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3} \)

Теперь у нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = \frac{4}{3} \).

2. Расставим знаки: исследуем знаки выражения \( x(3x - 4) \) на интервалах, определяемых корнями:

   • Интервал 1: \( (-\infty, 0) \) - здесь \( x < 0 \) и \( 3x - 4 < 0 \), значит произведение будет положительным (поскольку отрицательное * отрицательное = положительное).
   • Интервал 2: \( (0, \frac{4}{3}) \) - здесь \( x > 0 \) и \( 3x - 4 < 0 \), значит произведение будет отрицательным.
   • Интервал 3: \( (\frac{4}{3}, +\infty) \) - здесь и \( x > 0 \), и \( 3x - 4 > 0 \), следовательно, произведение будет положительным.

3. Итоги по знакам:

   • На интервале \( (-\infty, 0) \): > 0
   • На интервале \( (0, \frac{4}{3}) \): < 0
   • На интервале \( (\frac{4}{3}, +\infty) \): > 0

Шаг 4: Область определения

Область определения функции будет включать значения, при которых выражение под корнем неотрицательное. Из анализа знаков видно, что:

• Функция определена для \( x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{4}{3}, +\infty) \)

Шаг 5: Проверка значений

Можно подставлять значения из найденной области определения, чтобы увидеть, что \( u \) действительно дает неотрицательные результаты:

• Например, для \( x = 0 \): \[ u = \sqrt{0 \cdot (3 \cdot 0 - 4)} = \sqrt{0} = 0 \]

• Например, для \( x = 2 \) (второй интервал): \[ u = \sqrt{2(3 \cdot 2 - 4)} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2 \]

Таким образом, мы понимаем, что \( u \) будет давать действительные значения на нашей области определения.

Подытожим

1. Мы получили функцию \( u = \sqrt{x(3x - 4)} \).
2. Определили область определения: \( x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{4}{3}, +\infty) \).
3. Проанализировали, что функция принимает неотрицательные значения на этой области.

Если у вас остались вопросы или нужна помощь в дальнейшем, не стесняйтесь спрашивать!