У=√х(3х-4)

Для того чтобы понять, как решать уравнение \( u = \sqrt{x(3x - 4)} \), давайте поэтапно разберем, что оно означает и как с ним работать. ### Шаг 1: Понимание уравнения Здесь мы имеем функцию \( u \), которая зависит от переменной \( x \). Эта функция представляет собой квадратный корень произведения двух выражений: \( x \) и \( (3x - 4) \). ### Шаг 2: Определение области определения Чтобы понять, при каких значениях \( x \) функция \( u \) определена, необходимо, чтобы под корнем находилось неотрицательное число, так как квадратный корень из отрицательного числа в пределах действительных чисел не определен. Условие для \( \sqrt{x(3x - 4)} \) будем записывать следующим образом: \[ x(3x - 4) \geq 0 \] ### Шаг 3: Решение неравенства Для решения неравенства \( x(3x - 4) \geq 0 \) найдем корни. 1. Найдем нули: - \( x = 0 \) - \( 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3} \) Теперь у нас есть два корня: \( x = 0 \) и \( x = \frac{4}{3} \). 2. Расставим знаки: исследуем знаки выражения \( x(3x - 4) \) на интервалах, определяемых корнями: - Интервал 1: \( (-\infty, 0) \) - здесь \( x < 0 \) и \( 3x - 4 < 0 \), значит произведение будет положительным (поскольку отрицательное * отрицательное = положительное). - Интервал 2: \( (0, \frac{4}{3}) \) - здесь \( x > 0 \) и \( 3x - 4 < 0 \), значит произведение будет отрицательным. - Интервал 3: \( (\frac{4}{3}, +\infty) \) - здесь и \( x > 0 \), и \( 3x - 4 > 0 \), следовательно, произведение будет положительным. 3. Итоги по знакам: - На интервале \( (-\infty, 0) \): > 0 - На интервале \( (0, \frac{4}{3}) \): < 0 - На интервале \( (\frac{4}{3}, +\infty) \): > 0 ### Шаг 4: Область определения Область определения функции будет включать значения, при которых выражение под корнем неотрицательное. Из анализа знаков видно, что: - Функция определена для \( x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{4}{3}, +\infty) \) ### Шаг 5: Проверка значений Можно подставлять значения из найденной области определения, чтобы увидеть, что \( u \) действительно дает неотрицательные результаты: - Например, для \( x = 0 \): \[ u = \sqrt{0 \cdot (3 \cdot 0 - 4)} = \sqrt{0} = 0 \] - Например, для \( x = 2 \) (второй интервал): \[ u = \sqrt{2(3 \cdot 2 - 4)} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2 \] Таким образом, мы понимаем, что \( u \) будет давать действительные значения на нашей области определения. ### Подытожим 1. Мы получили функцию \( u = \sqrt{x(3x - 4)} \). 2. Определили область определения: \( x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{4}{3}, +\infty) \). 3. Проанализировали, что функция принимает неотрицательные значения на этой области. Если у вас остались вопросы или нужна помощь в дальнейшем, не стесняйтесь спрашивать!