Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных и формулы, предложенной в условии. Нам даны:
- Начальная скорость мотоциклиста ( V = 57 ) км/ч.
- Ускорение ( a = 8 ) км/ч².
- Радиус покрытия сотовой связи ( R = 45 ) км.
Формула для расстояния ( S ) от города, в зависимости от времени ( t ) в часах, выглядит так:
[
S = Vt + \frac{at^2}{2}
]
Нам нужно определить максимальное время ( t ), на протяжении которого расстояние ( S ) будет меньше или равно 45 км. То есть нам нужно решить неравенство:
[
57t + \frac{8t^2}{2} \leq 45
]
Сначала упростим данную формулу. Объединим члены:
[
57t + 4t^2 \leq 45
]
Перепишем его в стандартной форме:
[
4t^2 + 57t - 45 \leq 0
]
Теперь мы решим уравнение ( 4t^2 + 57t - 45 = 0 ) с помощью дискриминанта.
Вычислим дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = 57^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45)
]
[
D = 3249 + 720 = 3969
]
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
t = \frac{-57 \pm \sqrt{3969}}{2 \cdot 4}
]
[
t = \frac{-57 \pm 63}{8}
]
Теперь вычислим два корня:
- Первый корень:
[
t_1 = \frac{-57 + 63}{8} = \frac{6}{8} = 0.75 \text{ ч}
]
- Второй корень:
[
t_2 = \frac{-57 - 63}{8} = \frac{-120}{8} = -15 \text{ ч}
]
Мы отбрасываем отрицательный корень, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, ( t \leq 0.75 ) ч.
Теперь переведем время в минуты:
[
0.75 \text{ ч} = 0.75 \times 60 \text{ мин} = 45 \text{ мин}
]
Таким образом, наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, составляет 45 минут.
