Для решения этой задачи можно использовать теорию вероятностей и статистику, в частности, неравенство Чебышёва или центральную предельную теорему.
Определим данные.
- Вероятность изготовления нестандартной радиолампы ( p = 0.04 ).
- Необходимая точность ( \epsilon = 0.02 ).
- Желаемая вероятность ( P = 0.88 ).
Найдем необходимое количество ламп ( n ).
Сначала определим стандартное отклонение ( \sigma ) беря во внимание, что это биномиальное распределение. Для биномиального распределения имеет место:
[
\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}
]
Для больших ( n ) биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. По центральной предельной теореме, мы знаем, что:
[
P(|\hat{p} - p| < \epsilon) \approx P\left( |\frac{\hat{p} - p}{\sigma/\sqrt{n}}| < z \right)
]
где ( z ) — это значение z-распределения, соответствующее вероятности ( P = 0.88 ). Из таблицы нормального распределения ( z ) для 0.88 примерно равно 1.175.
- Подставим в неравенство:
[
P\left( |\hat{p} - p| < 0.02 \right) \approx P\left( |\frac{|\hat{p} - p|}{\sigma / \sqrt{n}}| < 1.175 \right)
]
Это можно выразить как:
[
\frac{0.02}{\sigma/\sqrt{n}} < 1.175
]
- Выразим ( n ):
Подставим выражение для ( \sigma ):
[
\frac{0.02 \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} < 1.175
]
После упрощения:
[
\frac{0.02 \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n \cdot 0.04 \cdot 0.96}} < 1.175
]
Затем, извлечем обе стороны, избавляясь от корней и переменных:
[
0.02 < 1.175 \cdot \sqrt{0.04 \cdot 0.96 \cdot \frac{1}{n}}
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат и решим относительно ( n ):
[
(0.02)^2 < (1.175^2 \cdot 0.04 \cdot 0.96) \cdot \frac{1}{n}
]
Здесь мы можем найти ( n ):
[
n > \frac{(1.175^2 \cdot 0.04 \cdot 0.96)}{(0.02)^2}
]
Рассчитав значения, вы сможете получить необходимое значение ( n ). После вычислений получается, что ( n ) должно быть выше примерно 203, что означает, что вам нужно отобрать не менее 204 ламп, чтобы с заданной вероятностью оценить нестандартные лампы с нужной точностью.
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать такую задачу! Если что-то осталось непонятным, спрашивайте!
