Прямая МК касается в точке К окружности с центром в точке О. Найдите ОК, если угол MOК = 45° , а радиус окружности равен 7 см.

Для решения данной задачи следует использовать свойства касательной к окружности и основные геометрические принципы.

Дано:

• Угол \( \angle MOK = 45° \)
• Радиус окружности \( r = 7 \) см
• Прямая \( MK \) — касательная к окружности в точке \( K \)

Необходимое:

Найти длину отрезка \( OK \).

Шаг 1: Понимание задачи

Касательная к окружности в точке касается окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Это значит, что \( OK \) перпендикулярен \( MK \).

Шаг 2: Построение

1. Пунктирная линия, соединяющая центр окружности \( O \) с точкой касания \( K \) — это радиус окружности.
2. Мы можем использовать треугольник \( OMK \), где \( OM \) — это отрезок от центра до точки \( M \).

Шаг 3: Используем тригонометрию

В треугольнике \( OMK \):

• Угол \( MOK \) равен \( 45° \), значит находим углы треугольника:
• Угол \( OKM \) равен \( 90° \) (потому что радиус перпендикулярен касательной).

Таким образом, треугольник \( OMK \) является прямоугольным (с углом \( 90° \) при \( K \)).

Шаг 4: Используем соотношения

Известно, что:

• \( OK = r = 7 \) см (это радиус окружности).
• Чтобы найти длину \( OM \), воспользуемся соотношением в прямоугольном треугольнике:

Используя теорему синусов или косинусов, мы можем записать, что в прямоугольном треугольнике: \[ OM = \frac{OK}{\cos(45°)} = \frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7\sqrt{2} \text{ см} \]

Шаг 5: Подсчет

Поскольку нам надо найти длину \( OK \), мы установили, что \[ OK = 7 \text{ см} \]

Вывод

Таким образом, длина отрезка \( OK \) равна \( 7 \) см.