Для решения задачи о нахождении ( \sin A ) и ( \cos B ) в прямоугольном треугольнике ( ABC ) с правым углом в ( C ), давайте сначала разберемся с известными данными и используем их для вычислений.
Данные:
- ( \angle C = 90^\circ ) (прямой угол)
- ( AB = 5 , \text{см} ) (гипотенуза)
- ( BC = 4 , \text{см} ) (один из катетов)
Чтобы найти длину второго катета ( AC ), воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
5^2 = AC^2 + 4^2
]
[
25 = AC^2 + 16
]
[
AC^2 = 25 - 16
]
[
AC^2 = 9
]
[
AC = 3 , \text{см}
]
Теперь мы знаем все стороны треугольника:
- ( AC = 3 , \text{см} )
- ( BC = 4 , \text{см} )
- ( AB = 5 , \text{см} )
Теперь можем вычислить ( \sin A ) и ( \cos B ).
Вычисление ( \sin A )
Синус угла ( A ) определяется как отношение противолежащего катета ( BC ) к гипотенузе ( AB ):
[
\sin A = \frac{BC}{AB}
]
Подставим значения:
[
\sin A = \frac{4}{5}
]
Вычисление ( \cos B )
Косинус угла ( B ) определяется как отношение прилежащего катета ( AC ) к гипотенузе ( AB ):
[
\cos B = \frac{AC}{AB}
]
Подставим значения:
[
\cos B = \frac{3}{5}
]
Итог
Мы нашли необходимые значения:
- ( \sin A = \frac{4}{5} )
- ( \cos B = \frac{3}{5} )
Таким образом, результаты нашей задачи следующие:
- ( \sin A = \frac{4}{5} )
- ( \cos B = \frac{3}{5} )
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно еще что-то объяснить, не стесняйтесь спрашивать!
