Бабушка Эсмер связала 2 пары носков за 1-ю нелелю 22 сколько недель она свяжет 20 пар носков, если за каждую следующую неделю она будет вязать на 1 пару носков больше, чем за…
Бабушка Эсмер связала 2 пары носков за 1-ю нелелю 22 сколько недель она свяжет 20 пар носков, если за каждую следующую неделю она будет вязать на 1 пару носков больше, чем за предыдущую?
Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть информация о вязании носков бабушки Эсмер.
За первую неделю бабушка связала 2 пары носков.
За каждую следующую неделю она будет вязать на 1 пару носков больше, чем за предыдущую. Это значит:
- На 1-й неделе: 2 пары
- На 2-й неделе: 3 пары (2 + 1)
- На 3-й неделе: 4 пары (3 + 1)
- На 4-й неделе: 5 пар (4 + 1)
- И так далее...
Таким образом, количество пар носков, связанных за неделю, образует последовательность, где количество пар носков увеличивается на 1 каждую неделю, начиная с 2 пар.
Давайте обозначим количество недель за \( n \). Тогда количество пар носков, связанных за \( n \) недель можно описать следующим образом:
- 1-я неделя: 2 пары
- 2-я неделя: 3 пары
- 3-я неделя: 4 пары
- ...
- \( n \)-я неделя: \( 1 + n \) пар носков
Значит, общее количество пар носков, связанных за \( n \) недель, будет равно:
\[ S_n = 2 + 3 + 4 + \ldots + (1 + n) = \sum_{k=2}^{1+n} k \]
Чтобы упростить выражение, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии.
Сумма последовательности от 1 до \( m \) (где \( m = n + 1 \)) равна:
\[ S_m = \frac{m(m+1)}{2} \]
Но поскольку мы начинаем с 2, нам нужно вычесть 1:
\[ S_n = S_{1+n} - 1 = \frac{(1+n)(2+n)}{2} - 1 \]
Теперь нам нужно найти такое \( n \), чтобы \( S_n \) было равно 20, то есть:
\[ \frac{(n+1)(n+2)}{2} - 1 = 20 \]
Перепишем уравнение:
\[ \frac{(n+1)(n+2)}{2} = 21 \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ (n+1)(n+2) = 42 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ n^2 + 3n + 2 = 42 \]
Перепишем уравнение в стандартном виде:
\[ n^2 + 3n - 40 = 0 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 \]
Теперь вычислим корни:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 13}{2} \]
Это дает нам два решения:
\[ n_1 = \frac{10}{2} = 5 \] \[ n_2 = \frac{-16}{2} = -8 \]
Так как количество недель не может быть отрицательным, мы принимаем только положительное решение:
\[ n = 5 \]
Таким образом, бабушка Эсмер свяжет 20 пар носков за 5 недель.
