Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть информация о вязании носков бабушки Эсмер.
За первую неделю бабушка связала 2 пары носков.
За каждую следующую неделю она будет вязать на 1 пару носков больше, чем за предыдущую. Это значит:
- На 1-й неделе: 2 пары
- На 2-й неделе: 3 пары (2 + 1)
- На 3-й неделе: 4 пары (3 + 1)
- На 4-й неделе: 5 пар (4 + 1)
- И так далее...
Таким образом, количество пар носков, связанных за неделю, образует последовательность, где количество пар носков увеличивается на 1 каждую неделю, начиная с 2 пар.
Давайте обозначим количество недель за ( n ). Тогда количество пар носков, связанных за ( n ) недель можно описать следующим образом:
- 1-я неделя: 2 пары
- 2-я неделя: 3 пары
- 3-я неделя: 4 пары
- ...
- ( n )-я неделя: ( 1 + n ) пар носков
Значит, общее количество пар носков, связанных за ( n ) недель, будет равно:
[
S_n = 2 + 3 + 4 + \ldots + (1 + n) = \sum_{k=2}^{1+n} k
]
Чтобы упростить выражение, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии.
Сумма последовательности от 1 до ( m ) (где ( m = n + 1 )) равна:
[
S_m = \frac{m(m+1)}{2}
]
Но поскольку мы начинаем с 2, нам нужно вычесть 1:
[
S_n = S_{1+n} - 1 = \frac{(1+n)(2+n)}{2} - 1
]
Теперь нам нужно найти такое ( n ), чтобы ( S_n ) было равно 20, то есть:
[
\frac{(n+1)(n+2)}{2} - 1 = 20
]
Перепишем уравнение:
[
\frac{(n+1)(n+2)}{2} = 21
]
Умножим обе стороны на 2:
[
(n+1)(n+2) = 42
]
Теперь раскроем скобки:
[
n^2 + 3n + 2 = 42
]
Перепишем уравнение в стандартном виде:
[
n^2 + 3n - 40 = 0
]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169
]
Теперь вычислим корни:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 13}{2}
]
Это дает нам два решения:
[
n_1 = \frac{10}{2} = 5
]
[
n_2 = \frac{-16}{2} = -8
]
Так как количество недель не может быть отрицательным, мы принимаем только положительное решение:
[
n = 5
]
Таким образом, бабушка Эсмер свяжет 20 пар носков за 5 недель.
