В правильной четырехугольной призме AВCDA,B,С1D1 сторона основания равна 3, боковое ребро 5. Т - центр грани АА, В,В. Найдите тангенс угла между прямой ТС и плоскостью основания. .

Для нахождения тангенса угла между прямой \( TC \) и плоскостью основания, нужно сначала рассмотреть расположение точек.

1. Определим координаты точек:

   • Пусть основание призмы \( ABCD \) находится в плоскости \( z = 0 \):
     • \( A(0, 0, 0) \)
     • \( B(3, 0, 0) \)
     • \( C(3, 3, 0) \)
     • \( D(0, 3, 0) \)
   • Высота призмы равна 5, следовательно, координаты точек верхней грани \( A_1B_1C_1D_1 \) будут следующие:
     • \( A_1(0, 0, 5) \)
     • \( B_1(3, 0, 5) \)
     • \( C_1(3, 3, 5) \)
     • \( D_1(0, 3, 5) \)
   • Центр грани \( A_1B_1C_1D_1 \) (обозначим точку \( T \)) будет равен: \[ T\left(\frac{0 + 3 + 3 + 0}{4}, \frac{0 + 0 + 3 + 3}{4}, \frac{5 + 5 + 5 + 5}{4}\right) = T\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 5\right) \]

2. Параметризуем прямую \( TC \):

   • Точка \( C \) имеет координаты \( (3, 3, 0) \).
   • Вектор \( \overrightarrow{TC} = \left(3 - \frac{3}{2}, 3 - \frac{3}{2}, 0 - 5\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, -5\right) \).

3. Вычислим проекцию вектора \( \overrightarrow{TC} \) на плоскость основания:

   • Вектор, лежащий в плоскости основания (например, вдоль оси \( z = 0 \)), можно взять \( \overrightarrow{u} = (1, 0, 0) \) или любой другой вектор, лежащий в этой плоскости.
   • Здесь мы используем вертикальный вектор \( \overrightarrow{v} = (0, 0, 1) \) для расчета. Мы можем рассчитать длину проекций обоих векторов.

4. Найдем длины:

   • Длина \( \overrightarrow{TC} \): \[ |\overrightarrow{TC}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-5)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 25} = \sqrt{\frac{18}{4} + 25} = \sqrt{\frac{18}{4} + \frac{100}{4}} = \sqrt{\frac{118}{4}} = \frac{\sqrt{118}}{2} \]
   • Длина проекции на плоскость (выбор вектора \( (3/2, 3/2, 0) \)), которая равна проекции: \[ |\overrightarrow{TC}_{xy}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

5. Тангенс угла между прямой и плоскостью:

   • У нас есть: \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{p} \] где \( h = 5 \) (высота призмы) и \( p = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).

   • Таким образом: \[ \tan(\theta) = \frac{5}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{3\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{3} \]

Ответ: \( \tan(\theta) = \frac{5\sqrt{2}}{3} \)