Для решения этой задачи используем понятия из кинематики, а именно – формулу для скорости, пути и времени. Давайте разберем задачу по шагам.
Дано:
- Расстояние между пунктами A и B (L) = 80 км
- Время на весь путь (T) = 11 часов
- Время на стоянку в пункте B = 2 часа
- Скорость течения реки (v_t) = 2 км/ч
Цель: Найти собственную скорость катера (v_k).
Шаг 1: Определение времени в пути
Сначала найдем, сколько времени катер действительно был в пути. Т.к. на стоянку ушло 2 часа, общее время в пути будет:
[ T_{в пути} = T - T_{стоянка} = 11,ч - 2,ч = 9,ч ]
Шаг 2: Обозначим собственную скорость катера
Обозначим собственную скорость катера как ( v_k ).
Шаг 3: Определим скорости
При движении по течению реки (от A до B):
[ v_{по течению} = v_k + v_t = v_k + 2 ]
При движении против течения (от B до A):
[ v_{против течения} = v_k - v_t = v_k - 2 ]
Шаг 4: Определим время в пути
Используем формулу для пути ( L = v \cdot t ), откуда ( t = \frac{L}{v} ).
Время, которое катер потратил на путь от A до B (по течению):
[
t_{AB} = \frac{80}{v_k + 2}
]
Время, которое катер потратил на путь от B до A (против течения):
[
t_{BA} = \frac{80}{v_k - 2}
]
Шаг 5: Запись уравнения на время
Так как общее время в пути — 9 часов, мы можем записать уравнение:
[
t_{AB} + t_{BA} = 9
]
Подставляем выражения для ( t_{AB} ) и ( t_{BA} ):
[
\frac{80}{v_k + 2} + \frac{80}{v_k - 2} = 9
]
Шаг 6: Упрощение уравнения
Умножим всё уравнение на ( (v_k + 2)(v_k - 2) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
80(v_k - 2) + 80(v_k + 2) = 9(v_k^2 - 4)
]
Раскроем скобки:
[
80v_k - 160 + 80v_k + 160 = 9v_k^2 - 36
]
Упрощаем:
[
160v_k = 9v_k^2 - 36
]
Шаг 7: Перенос всех членов в одну сторону
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
9v_k^2 - 160v_k - 36 = 0
]
Шаг 8: Решение квадратного уравнения
Используем дискриминант для решения уравнения ( Av^2 + Bv + C = 0 ):
( A = 9 ), ( B = -160 ), ( C = -36 ).
Дискриминант:
[
D = B^2 - 4AC = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896
]
Корни уравнения:
[
v_k = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{160 \pm \sqrt{26896}}{18}
]
Вычисляем ( \sqrt{26896} ):
[
\sqrt{26896} \approx 164
]
Теперь подставляем:
[
v_k = \frac{160 \pm 164}{18}
]
Шаг 9: Подбор значений
- ( v_k = \frac{324}{18} \approx 18 )
- ( v_k = \frac{-4}{18} ) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Ответ
Таким образом, собственная скорость катера ( v_k ) равна приблизительно 18 км/ч.
