Из пункта А, в пункт В, расстояние между которыми равно 80км, по течению реки отправился . В пункте В катер сделал остановку в 2 часа, после чего отправился обратно в пункт А.…

Для решения этой задачи используем понятия из кинематики, а именно – формулу для скорости, пути и времени. Давайте разберем задачу по шагам.

Дано:

• Расстояние между пунктами A и B (L) = 80 км
• Время на весь путь (T) = 11 часов
• Время на стоянку в пункте B = 2 часа
• Скорость течения реки (v_t) = 2 км/ч

Цель: Найти собственную скорость катера (v_k).

Шаг 1: Определение времени в пути

Сначала найдем, сколько времени катер действительно был в пути. Т.к. на стоянку ушло 2 часа, общее время в пути будет:

\[ T_{в пути} = T - T_{стоянка} = 11\,ч - 2\,ч = 9\,ч \]

Шаг 2: Обозначим собственную скорость катера

Обозначим собственную скорость катера как \( v_k \).

Шаг 3: Определим скорости

При движении по течению реки (от A до B): \[ v_{по течению} = v_k + v_t = v_k + 2 \]

При движении против течения (от B до A): \[ v_{против течения} = v_k - v_t = v_k - 2 \]

Шаг 4: Определим время в пути

Используем формулу для пути \( L = v \cdot t \), откуда \( t = \frac{L}{v} \).

1. Время, которое катер потратил на путь от A до B (по течению): \[ t_{AB} = \frac{80}{v_k + 2} \]

2. Время, которое катер потратил на путь от B до A (против течения): \[ t_{BA} = \frac{80}{v_k - 2} \]

Шаг 5: Запись уравнения на время

Так как общее время в пути — 9 часов, мы можем записать уравнение:

\[ t_{AB} + t_{BA} = 9 \]

Подставляем выражения для \( t_{AB} \) и \( t_{BA} \):

\[ \frac{80}{v_k + 2} + \frac{80}{v_k - 2} = 9 \]

Шаг 6: Упрощение уравнения

Умножим всё уравнение на \( (v_k + 2)(v_k - 2) \) (чтобы избавиться от дробей):

\[ 80(v_k - 2) + 80(v_k + 2) = 9(v_k^2 - 4) \]

Раскроем скобки:

\[ 80v_k - 160 + 80v_k + 160 = 9v_k^2 - 36 \]

Упрощаем:

\[ 160v_k = 9v_k^2 - 36 \]

Шаг 7: Перенос всех членов в одну сторону

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ 9v_k^2 - 160v_k - 36 = 0 \]

Шаг 8: Решение квадратного уравнения

Используем дискриминант для решения уравнения \( Av^2 + Bv + C = 0 \):

\( A = 9 \), \( B = -160 \), \( C = -36 \).

Дискриминант:

\[ D = B^2 - 4AC = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \]

Корни уравнения:

\[ v_k = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{160 \pm \sqrt{26896}}{18} \]

Вычисляем \( \sqrt{26896} \):

\[ \sqrt{26896} \approx 164 \]

Теперь подставляем:

\[ v_k = \frac{160 \pm 164}{18} \]

Шаг 9: Подбор значений

1. \( v_k = \frac{324}{18} \approx 18 \)
2. \( v_k = \frac{-4}{18} \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ

Таким образом, собственная скорость катера \( v_k \) равна приблизительно 18 км/ч.