Найдите неизвестные стороны прямоутольного треугольника АВС (угол С - прямой), если АВ=6см, tgA = 12/13
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C, известно, что AB = 6 см и тангенс угла A равен 12/13. Используем эти данные для нахождения сторон AC и BC.
Определим длину сторон треугольника с помощью тангенса:
Поскольку tg(A) = противолежащая сторона / прилежащая сторона, то \[ tg(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{13} \]
Обозначим:
- AC = 13k,
- BC = 12k,
где k - общая часть, позволяющая выразить стороны.
Используем теорему Пифагора:
Вся длина стороны AB выражается через AC и BC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения и выражения: \[ 6^2 = (13k)^2 + (12k)^2 \] \[ 36 = 169k^2 + 144k^2 \] \[ 36 = 313k^2 \] Решаем уравнение: \[ k^2 = \frac{36}{313} \] \[ k = \sqrt{\frac{36}{313}} = \frac{6}{\sqrt{313}} \]
Находим стороны треугольника:
Теперь подставим значение k для нахождения AC и BC:
- AC: \[ AC = 13k = 13 \cdot \frac{6}{\sqrt{313}} = \frac{78}{\sqrt{313}} \]
- BC: \[ BC = 12k = 12 \cdot \frac{6}{\sqrt{313}} = \frac{72}{\sqrt{313}} \]
Таким образом, стороны треугольника:
- AC = \(\frac{78}{\sqrt{313}} \approx 4.40\) см,
- BC = \(\frac{72}{\sqrt{313}} \approx 4.08\) см.
