Задача с нахождением первообразной функции и вычислением интеграла может быть решена с использованием правил интегрирования. Давайте рассмотрим вашу задачу шаг за шагом.
1. Найти первообразную функции в общем виде
(a) ( y = 4x - 5 )
Для нахождения первообразной ( F(x) ), нам нужно интегрировать данную функцию.
[
F(x) = \int (4x - 5) , dx
]
Теперь применим правило интегрирования:
[
F(x) = \int 4x , dx - \int 5 , dx
]
Чтобы интегрировать ( 4x ) и ( 5 ), используем следующие формулы:
- ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ) (для ( n \neq -1 ))
- ( \int k , dx = kx + C ) (где ( k ) - постоянная)
Применяем их к нашему выражению:
[
F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C
]
Упрощаем:
[
F(x) = 2x^2 - 5x + C
]
Ответ: ( F(x) = 2x^2 - 5x + C )
(б) ( y = 9(7 + 3x)^3 )
Здесь мы используем метод подстановки. Пусть ( u = 7 + 3x ), тогда ( du = 3dx ) или ( dx = \frac{du}{3} ).
Теперь мы можем выразить интеграл через ( u ):
[
F(x) = \int 9u^3 \cdot \frac{du}{3} = 3 \int u^3 , du
]
Интегрируем:
[
F(x) = 3 \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{3}{4}(7 + 3x)^4 + C
]
Ответ: ( F(x) = \frac{3}{4}(7 + 3x)^4 + C )
(в) ( y = 0.5x + 20.2x^4 )
Интегрируем каждое слагаемое:
[
F(x) = \int (0.5x + 20.2x^4) , dx = \int 0.5x , dx + \int 20.2x^4 , dx
]
Используем правила интегрирования:
[
F(x) = 0.5 \cdot \frac{x^2}{2} + 20.2 \cdot \frac{x^5}{5} + C
]
Упрощаем:
[
F(x) = 0.25x^2 + \frac{20.2}{5}x^5 + C = 0.25x^2 + 4.04x^5 + C
]
Ответ: ( F(x) = 0.25x^2 + 4.04x^5 + C )
2. Найти первообразную функции, график которой проходит через точку M
(a) ( y = x + 2 ), ( M(2, 7) )
Сначала находим первообразную:
[
F(x) = \int (x + 2) , dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C
]
Теперь используем координаты точки ( M(2, 7) ):
[
F(2) = \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 + C = 7
]
[
2 + 4 + C = 7 \implies C = 1
]
Ответ: ( F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 1 )
(б) ( y = \sin x ), ( M\left(\frac{7}{2}, 17\right) )
Находим первообразную:
[
F(x) = \int \sin x , dx = -\cos x + C
]
Используем точку ( M\left(\frac{7}{2}, 17\right) ):
[
F\left(\frac{7}{2}\right) = -\cos\left(\frac{7}{2}\right) + C = 17
]
[
C = 17 + \cos\left(\frac{7}{2}\right)
]
Ответ: ( F(x) = -\cos x + 17 + \cos\left(\frac{7}{2}\right) )
3. Вычислить интеграл
Поскольку у вас не указан конкретный интеграл, пожалуйста, уточните, какой именно интеграл вы хотите вычислить, и я помогу вам с решением!
