1. Найти первообразную функции в общем виде (a) y = 4x - 5 6) y = 9 * (7 + 3x) ^ 3 в) y = 0.5x + 20.2x ^ 4 2. Найти первообразную функции, график которой проходит через точку М.…

Задача с нахождением первообразной функции и вычислением интеграла может быть решена с использованием правил интегрирования. Давайте рассмотрим вашу задачу шаг за шагом.

1. Найти первообразную функции в общем виде

(a) \( y = 4x - 5 \)

Для нахождения первообразной \( F(x) \), нам нужно интегрировать данную функцию.

\[ F(x) = \int (4x - 5) \, dx \]

Теперь применим правило интегрирования:

\[ F(x) = \int 4x \, dx - \int 5 \, dx \]

Чтобы интегрировать \( 4x \) и \( 5 \), используем следующие формулы:

• \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (для \( n \neq -1 \))
• \( \int k \, dx = kx + C \) (где \( k \) - постоянная)

Применяем их к нашему выражению:

\[ F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C \]

Упрощаем:

\[ F(x) = 2x^2 - 5x + C \]

Ответ: \( F(x) = 2x^2 - 5x + C \)

---

(б) \( y = 9(7 + 3x)^3 \)

Здесь мы используем метод подстановки. Пусть \( u = 7 + 3x \), тогда \( du = 3dx \) или \( dx = \frac{du}{3} \).

Теперь мы можем выразить интеграл через \( u \):

\[ F(x) = \int 9u^3 \cdot \frac{du}{3} = 3 \int u^3 \, du \]

Интегрируем:

\[ F(x) = 3 \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{3}{4}(7 + 3x)^4 + C \]

Ответ: \( F(x) = \frac{3}{4}(7 + 3x)^4 + C \)

---

(в) \( y = 0.5x + 20.2x^4 \)

Интегрируем каждое слагаемое:

\[ F(x) = \int (0.5x + 20.2x^4) \, dx = \int 0.5x \, dx + \int 20.2x^4 \, dx \]

Используем правила интегрирования:

\[ F(x) = 0.5 \cdot \frac{x^2}{2} + 20.2 \cdot \frac{x^5}{5} + C \]

Упрощаем:

\[ F(x) = 0.25x^2 + \frac{20.2}{5}x^5 + C = 0.25x^2 + 4.04x^5 + C \]

Ответ: \( F(x) = 0.25x^2 + 4.04x^5 + C \)

---

2. Найти первообразную функции, график которой проходит через точку M

(a) \( y = x + 2 \), \( M(2, 7) \)

Сначала находим первообразную:

\[ F(x) = \int (x + 2) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C \]

Теперь используем координаты точки \( M(2, 7) \):

\[ F(2) = \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 + C = 7 \] \[ 2 + 4 + C = 7 \implies C = 1 \]

Ответ: \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + 1 \)

---

(б) \( y = \sin x \), \( M\left(\frac{7}{2}, 17\right) \)

Находим первообразную:

\[ F(x) = \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]

Используем точку \( M\left(\frac{7}{2}, 17\right) \):

\[ F\left(\frac{7}{2}\right) = -\cos\left(\frac{7}{2}\right) + C = 17 \] \[ C = 17 + \cos\left(\frac{7}{2}\right) \]

Ответ: \( F(x) = -\cos x + 17 + \cos\left(\frac{7}{2}\right) \)

---

3. Вычислить интеграл

Поскольку у вас не указан конкретный интеграл, пожалуйста, уточните, какой именно интеграл вы хотите вычислить, и я помогу вам с решением!