докажите, что среди 9 человек есть либо 3 попарно знакомых и либо 4 попарно незнакомых

Давайте решим задачу о том, что среди 9 человек обязательно найдутся либо 3 попарно знакомых, либо 4 попарно незнакомых.

Пошаговое решение:

1. Определение задачи:

   • У нас есть 9 человек. Мы хотим понять, как связаны их знакомства, т.е. существуют ли среди них три человека, которые знакомы друг с другом (попарно знакомые) или четыре человека, которые не знакомы между собой (попарно незнакомые).

2. Графическая интерпретация:

   • Представим людей как вершины графа. Если два человека знакомы, то мы проведем между ними ребро, а если не знакомы, то не проведем.
   • Таким образом, если мы ищем 3 попарно знакомых, это означает, что нам нужно найти треугольник в графе, а если 4 попарно незнакомых, то нам нужно найти независимую группу из 4 вершин.

3. Применение теоремы Рамсея:

   • Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Рамсея, которая утверждает, что в любом графе с n вершинами (в данном случае n = 9), обязательно существует либо клика из k вершин, либо независимая группа из m вершин, если n достаточно велико.
   • В нашем случае мы имеем k = 3 (для 3 попарно знакомых) и m = 4 (для 4 попарно незнакомых).

4. Проверим значение n:

   • Для двух параметров k = 3 и m = 4, по теореме Рамсея R(3,4) = 9. Это означает, что для 9 вершин (людей) обязательно существует либо клика из 3 человек, либо независимая группа из 4.

5. Вывод:

   • Следовательно, согласно теореме Рамсея, в группе из 9 человек должно быть либо 3 попарно знакомых, либо 4 попарно незнакомых.

С помощью этого доказательства мы подтвердили, что среди 9 человек не может не быть ни одной из указанных групп.