Найти ответ

Давайте разберём каждый пункт задачи. 1. **Преобразуем: \( \sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2} \cdot \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) \)** Используем тригонометрическую формулу приведения: \[ \sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)\right) \] Это похоже на формулу для косинуса суммы: \[ a\sin(x) + b\cos(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos\left(x - \arctan\left(\frac{a}{b}\right)\right) \] где \(a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Следовательно: \[ \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \] Получаем: \[ \sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \] 2. **Представим в виде произведения: \(\sin(x) - \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\)** Используем формулу разности синусов: \[ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) \] В нашем случае \(A = x\), \(B = x - \frac{\pi}{2}\): \[ \sin(x) - \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{x + (x - \frac{\pi}{2})}{2}\right) \sin\left(\frac{x - (x - \frac{\pi}{2})}{2}\right) \] Упрощаем: \[ = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \] Поскольку \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем: \[ = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \] 3. **Найдём наибольшее и наименьшее значение выражения: \(\cos(x) + \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\)** Заметим, что \(\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(x)\). Тогда: \[ \cos(x) + \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x) - \sin(x) \] Можем представить это как: \[ \cos(x) - \sin(x) = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x + \frac{3\pi}{4}\right) \] Амплитуда этой функции равна \(\sqrt{2}\), значит максимальное значение \(\sqrt{2}\), а минимальное значение \(-\sqrt{2}\). Таким образом, задачи решены с объяснениями каждого шага.