Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулой разности синусов:
[
\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right).
]
В данном случае, ( A = a ) и ( B = \frac{\pi}{3} - a ).
Подставим значения в формулу:
- Найдём A + B:
[
A + B = a + \left(\frac{\pi}{3} - a\right) = \frac{\pi}{3}.
]
- Найдём A - B:
[
A - B = a - \left(\frac{\pi}{3} - a\right) = a - \frac{\pi}{3} + a = 2a - \frac{\pi}{3}.
]
- Подставим эти значения в формулу:
[
\sin a - \sin\left(\frac{\pi}{3} - a\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) \sin\left(\frac{2a - \frac{\pi}{3}}{2}\right).
]
- Упростим:
[
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
]
[
\sin\left(a - \frac{\pi}{6}\right).
]
- Подставим окончательное выражение:
[
\sin a - \sin\left(\frac{\pi}{3} - a\right) = \sqrt{3} \sin\left(a - \frac{\pi}{6}\right).
]
Таким образом, разность синусов преобразована через произведение косинуса и синуса.
