Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 2 и в записи которого использованы только две различные цифры. В…

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем условие шаг за шагом.

Шаг 1: Понять условия задачи

1. Трёхзначное число: мы ищем число от 100 до 999.

2. Число больше 500: значит, наше число должно быть в диапазоне от 501 до 999.

3. Деление на 3, 4 и 5 с остатком 2: это значит, что мы можем записать следующее:

   • \( x \mod 3 = 2 \)
   • \( x \mod 4 = 2 \)
   • \( x \mod 5 = 2 \)

4. Число с двумя различными цифрами: в числе могут быть только две разные цифры.

Шаг 2: Применить условия деления

Мы можем упростить задачу, найдя общее условие для деления:

• Если \( x \mod 3 = 2 \), то \( x = 3k + 2 \)
• Если \( x \mod 4 = 2 \), то \( x = 4m + 2 \)
• Если \( x \mod 5 = 2 \), то \( x = 5n + 2 \)

Таким образом, через каждый из этих модулей можно записать общее числовое выражение:

Для \( x \), которое при делении на 3, 4 и 5 даёт остаток 2, используется общее решение:

• \( x = LCM(3, 4, 5) \cdot t + 2 \)

Где \( LCM \) (наименьшее общее кратное) чисел 3, 4 и 5 — это 60. Таким образом:

• \( x = 60t + 2 \)

Шаг 3: Подбирать подходящие \( t \)

Нам нужно найти такое \( t \), чтобы \( 60t + 2 \) было трёхзначным и больше 500.

• Решим неравенство: \[ 60t + 2 > 500 \] \[ 60t > 498 \] \[ t > \frac{498}{60} \approx 8.3 \]

Таким образом, минимально возможное целое значение для \( t \) — 9. Теперь найдем, какое значение будет для \( t = 9 \):

• \( x = 60 \cdot 9 + 2 = 540 + 2 = 542 \)

Шаг 4: Проверить условия

• Проверим, что число состоит из двух разных цифр: 542 состоит из цифр 5, 4, и 2 (три разные цифры), не подходит.

Следующими будут \( t = 10, 11, \ldots \):

• Для \( t = 10 \): \[ x = 60 \cdot 10 + 2 = 600 + 2 = 602 \quad (\text{три разные цифры}) \]
• Для \( t = 11 \): \[ x = 60 \cdot 11 + 2 = 660 + 2 = 662 \quad (\text{две цифры 6 и 2}) \]

Таким образом, одно из чисел, удовлетворяющих всем условиям — 662.

Ответ:

662 – это трёхзначное число больше 500, которое при делении на 3, 4 и 5 даёт остаток 2 и состоит из двух различных цифр: 6 и 2.