Чтобы решить эту задачу, давайте разобьём её на несколько шагов и определим необходимые величины.
Нам даны следующие данные:
- Время, необходимое лодочнику для достижения посёлка в стоячей воде: (t_1 = 3) минуты.
- Время, необходимое лодочнику для достижения посёлка с течением: (t_2 = 2) минуты.
Мы будем использовать обозначения:
- (L) — расстояние до посёлка,
- (v_b) — скорость лодки в стоячей воде,
- (v_t) — скорость течения реки.
Шаг 1: Определение скорости лодки и течения
Скорость лодки в стоячей воде:
[
v_b = \frac{L}{t_1} = \frac{L}{3} \text{ (в метрах в минуту)}
]
Скорость лодочника с течением:
- При помощи течения скорость лодочника будет равна (v_b + v_t). Поэтому можно выразить скорость в следующем виде:
[
v_b + v_t = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{2}
]
Шаг 2: Составим систему уравнений
У нас есть два уравнения:
- (v_b = \frac{L}{3})
- (v_b + v_t = \frac{L}{2})
Теперь подставим первое уравнение во второе:
[
\frac{L}{3} + v_t = \frac{L}{2}
]
Шаг 3: Решение для скорости течения
Теперь найдем (v_t):
[
v_t = \frac{L}{2} - \frac{L}{3}
]
Чтобы вычесть дроби, найдём общий знаменатель (которым будет 6):
[
v_t = \frac{3L}{6} - \frac{2L}{6} = \frac{L}{6}
]
Шаг 4: Теперь находим время возвращения
Когда лодочник возвращается обратно, он движется против течения. Его скорость на обратном пути будет:
[
v_b - v_t = \frac{L}{3} - \frac{L}{6}
]
Опять же, найдём общий знаменатель:
[
v_b - v_t = \frac{2L}{6} - \frac{L}{6} = \frac{L}{6}
]
Скорость при движении против течения равна (\frac{L}{6}).
Теперь определим время, необходимое для того, чтобы вернуться домой:
[
t_{\text{возврат}} = \frac{L}{v_b - v_t} = \frac{L}{\frac{L}{6}} = 6 \text{ минут}
]
Ответ
Лодочник сможет вернуться на лодке из посёлка домой за 6 минут.
