Посёлок находится на расстоянии L от дома лодочника ниже по течению реки. В стоячей воде лодочник мог бы добраться до посёлка за 3 минуты. Но так как ему помогает течение, он…

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьём её на несколько шагов и определим необходимые величины.

Нам даны следующие данные:

1. Время, необходимое лодочнику для достижения посёлка в стоячей воде: \(t_1 = 3\) минуты.
2. Время, необходимое лодочнику для достижения посёлка с течением: \(t_2 = 2\) минуты.

Мы будем использовать обозначения:

• \(L\) — расстояние до посёлка,
• \(v_b\) — скорость лодки в стоячей воде,
• \(v_t\) — скорость течения реки.

Шаг 1: Определение скорости лодки и течения

1. Скорость лодки в стоячей воде: \[ v_b = \frac{L}{t_1} = \frac{L}{3} \text{ (в метрах в минуту)} \]

2. Скорость лодочника с течением:

   • При помощи течения скорость лодочника будет равна \(v_b + v_t\). Поэтому можно выразить скорость в следующем виде: \[ v_b + v_t = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{2} \]

Шаг 2: Составим систему уравнений

У нас есть два уравнения:

1. \(v_b = \frac{L}{3}\)
2. \(v_b + v_t = \frac{L}{2}\)

Теперь подставим первое уравнение во второе:

\[ \frac{L}{3} + v_t = \frac{L}{2} \]

Шаг 3: Решение для скорости течения

Теперь найдем \(v_t\):

\[ v_t = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} \]

Чтобы вычесть дроби, найдём общий знаменатель (которым будет 6):

\[ v_t = \frac{3L}{6} - \frac{2L}{6} = \frac{L}{6} \]

Шаг 4: Теперь находим время возвращения

Когда лодочник возвращается обратно, он движется против течения. Его скорость на обратном пути будет:

\[ v_b - v_t = \frac{L}{3} - \frac{L}{6} \]

Опять же, найдём общий знаменатель:

\[ v_b - v_t = \frac{2L}{6} - \frac{L}{6} = \frac{L}{6} \]

Скорость при движении против течения равна \(\frac{L}{6}\).

Теперь определим время, необходимое для того, чтобы вернуться домой:

\[ t_{\text{возврат}} = \frac{L}{v_b - v_t} = \frac{L}{\frac{L}{6}} = 6 \text{ минут} \]

Ответ

Лодочник сможет вернуться на лодке из посёлка домой за 6 минут.