Реши Вариант 2
Давайте решим задачи из Варианта 2.
- \(\int \left(x^2 - 3x\right) \, dx\)
Чтобы решить этот интеграл, разложим его на два интеграла:
\[ \int x^2 \, dx - \int 3x \, dx \]
Теперь решим каждый из них отдельно:
- \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1\)
- \(\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2} + C_2\)
Подставим обратно:
\[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + C \]
где \(C\) — произвольная константа, \(C = C_1 - C_2\).
- \(\int_1^3 \frac{3}{x} \, dx\)
Интеграл от \(\frac{1}{x}\) — это \(\ln|x|\), поэтому:
\[ \int_1^3 \frac{3}{x} \, dx = 3 \left[ \ln |x| \right]_1^3 \]
Подставим пределы (верхний минус нижний):
\[ 3 \left( \ln 3 - \ln 1 \right) = 3 \ln 3 \]
- \(\int_2^3 4 \cos 2x \, dx\)
Этот интеграл тривиален с использованием формулы интегрирования косинуса:
\[ \int 4 \cos 2x \, dx = \left[ 2 \sin 2x \right]_2^3 \]
Теперь подставим пределы:
\[ 2 (\sin 6 - \sin 4) \]
Это выражение может быть нашими пределами задачи, так как синус 4 и 6 радиан не представляются как табличные значения, достаточно оставить ответ в таком виде.
Таким образом, задачи решены. Если есть дальнейшие вопросы или нужна помощь с другими задачами, буду рад помочь!
