Давайте решим задачи из Варианта 2.
- (\int \left(x^2 - 3x\right) , dx)
Чтобы решить этот интеграл, разложим его на два интеграла:
[
\int x^2 , dx - \int 3x , dx
]
Теперь решим каждый из них отдельно:
- (\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C_1)
- (\int 3x , dx = \frac{3x^2}{2} + C_2)
Подставим обратно:
[
\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + C
]
где (C) — произвольная константа, (C = C_1 - C_2).
- (\int_1^3 \frac{3}{x} , dx)
Интеграл от (\frac{1}{x}) — это (\ln|x|), поэтому:
[
\int_1^3 \frac{3}{x} , dx = 3 \left[ \ln |x| \right]_1^3
]
Подставим пределы (верхний минус нижний):
[
3 \left( \ln 3 - \ln 1 \right) = 3 \ln 3
]
- (\int_2^3 4 \cos 2x , dx)
Этот интеграл тривиален с использованием формулы интегрирования косинуса:
[
\int 4 \cos 2x , dx = \left[ 2 \sin 2x \right]_2^3
]
Теперь подставим пределы:
[
2 (\sin 6 - \sin 4)
]
Это выражение может быть нашими пределами задачи, так как синус 4 и 6 радиан не представляются как табличные значения, достаточно оставить ответ в таком виде.
Таким образом, задачи решены. Если есть дальнейшие вопросы или нужна помощь с другими задачами, буду рад помочь!
