Катер шёл против течения реки 160 160 км, а затем вернулся обратно, причём обратный путь занял на 6 6 часов меньше. Собственная скорость катера равна 13 13 км/ч. Найди скорость…

Давайте разберем задачу о катере, который движется против течения реки и обратно, с целью найти скорость течения.

1. Определим данные:

   • Расстояние (дистанция) в один конец = 160 км.
   • Собственная скорость катера = 13 км/ч.
   • Обратный путь занял на 6 часов меньше.

2. Ознакомимся с формулами: Мы используем основную формулу для расчета времени: \[ Время = \frac{Расстояние}{Скорость} \]

   При движении против течения скорость катера будет меньше, поскольку мы вычитаем скорость течения (\(v\)): \[ Скорость против течения = 13 - v \] А при движении по течению скорость будет больше, поскольку мы добавляем скорость течения: \[ Скорость по течению = 13 + v \]

3. Найдем время в пути в обеих ситуациях:

   • Время в пути против течения: \[ t_1 = \frac{160}{13 - v} \]
   • Время в пути по течению: \[ t_2 = \frac{160}{13 + v} \]

4. Запишем условие задачи: Мы знаем, что время в пути по течению на 6 часов меньше, чем время в пути против течения: \[ t_1 - t_2 = 6 \]

5. Подставим выражения для времени в уравнение: \[ \frac{160}{13 - v} - \frac{160}{13 + v} = 6 \]

6. Упростим уравнение: Умножим обе части уравнения на \((13 - v)(13 + v)\) (это произведение знаменателей) для устранения дробей: \[ 160(13 + v) - 160(13 - v) = 6(13 - v)(13 + v) \] Раскроем скобки: \[ 160 \cdot 13 + 160v - 160 \cdot 13 + 160v = 6(169 - v^2) \] Упрощаем: \[ 320v = 1014 - 6v^2 \]

7. Перепишем уравнение: Приведем все к одному виду, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 6v^2 + 320v - 1014 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение. Используем формулу решения квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 6\), \(b = 320\), \(c = -1014\).

   Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 320^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1014) \] \[ D = 102400 + 24336 = 126736 \]

   Находим корни: \[ v = \frac{-320 \pm \sqrt{126736}}{2 \cdot 6} \] \[ v = \frac{-320 \pm 356}{12} \]

   Рассчитываем два возможных значения для скорости:

   1. \(v_1 = \frac{36}{12} = 3\)
   2. \(v_2 = \frac{-676}{12}\) (отрицательное значение нас не интересует).

9. Ответ: Скорость течения реки \(v = 3\) км/ч.

Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч.