9 класс B1 8ه 1. Найдите длину окружности, описанной около пря- моугольного треугольника с катетами а и ь. 2. Найдите площадь круга, вписанного в равносторон- ний треугольник со…

Чтобы помочь вам понять предложенные задачи, давайте разберем каждую из них по порядку, приводя подробные объяснения и формулы.

Задача 1:

Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b.

Решение: Для прямоугольного треугольника, длина окружности (или периметр) описанной вокруг него окружности может быть найдена по формуле:

\[ R = \frac{c}{2} \]

где \(c\) — гипотенуза треугольника. Если катет \(a\) и катет \(b\) известны, гипотензу можно найти по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Теперь можем подставить это значение в формулу для радиуса окружности:

\[ R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \]

Длина окружности определяется формулой:

\[ L = 2\pi R \]

Подставив выражение для \(R\), получаем:

\[ L = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \pi \sqrt{a^2 + b^2} \]

Задача 2:

Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной a.

Решение: Площадь круга рассчитывается по формуле:

\[ S = \pi r^2 \]

Где \(r\) — радиус вписанного круга. Для равностороннего треугольника можно найти радиус вписанного круга по формуле:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Теперь подставим это значение радиуса в формулу для площади круга:

\[ S = \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 = \pi \cdot \frac{3a^2}{36} = \frac{\pi a^2}{12} \]

Задача 3:

Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна 45°.

Решение: Длина дуги окружности может быть найдена по формуле:

\[ L = 2\pi R \cdot \frac{\theta}{360} \]

где \(R\) — радиус окружности, а \(\theta\) — угол в градусах. В нашем случае:

• \(R = 6\) см
• \(\theta = 45^\circ\)

Подставляем в формулу:

\[ L = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{45}{360} = 12\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{12\pi}{8} = \frac{3\pi}{2} \, \text{см} \]

Задача 4:

Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга.

Решение: Сначала вычисляем площадь полного круга:

\[ S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \, \text{см}^2 \]

Теперь находим площадь сектора. Площадь сектора можно вычислить по формуле:

\[ S_{\text{сектора}} = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{360} \]

Для нашего случая:

\[ S_{\text{сектора}} = \pi \cdot 10^2 \cdot \frac{60}{360} = 100\pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{100\pi}{6} \approx 16.67\pi \, \text{см}^2 \]

Теперь находим площадь оставшейся части круга:

\[ S_{\text{оставшейся части}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{сектора}} = 100\pi - \frac{100\pi}{6} = 100\pi\left(1 - \frac{1}{6}\right) = 100\pi \cdot \frac{5}{6} = \frac{500\pi}{6} \approx 83.33\pi \, \text{см}^2 \]

Таким образом, мы нашли площади и длины окружностей и дуг для всех предложенных задач.