Чтобы решить задачу, давайте начнём с формулы для объёма цилиндра и применим заданные условия.
Объём цилиндра ( V ) вычисляется с помощью формулы:
[
V = \pi r^2 h
]
где:
- ( r ) — радиус основания цилиндра,
- ( h ) — высота цилиндра,
- ( \pi ) — математическая константа, примерно равная 3.14.
Дано, что высота ( h ) в два раза больше диаметра основания. Диаметр основания ( d ) равен ( 2r ), поэтому высота можно выразить как:
[
h = 2d = 2 \times 2r = 4r
]
Теперь подставим это значение высоты в формулу для объёма:
[
V = \pi r^2 h = \pi r^2 (4r) = 4\pi r^3
]
Так как объём цилиндра равен 1 м³, мы можем записать уравнение:
[
4\pi r^3 = 1
]
Теперь выразим ( r^3 ):
[
r^3 = \frac{1}{4\pi}
]
Теперь найдём ( r ):
[
r = \left(\frac{1}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}
]
Теперь, чтобы найти высоту ( h ), подставим значение ( r ) в формулу для высоты:
[
h = 4r = 4\left(\frac{1}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}
]
Итак, нам нужно упростить это выражение:
[
h = \frac{4}{(4\pi)^{\frac{1}{3}}}
]
Теперь можем вычислить значение высоты, используя приближённое значение ( \pi \approx 3.14 ):
Вычислим ( 4\pi ):
[
4\pi \approx 4 \times 3.14 = 12.56
]
Вычислим ( (4\pi)^{\frac{1}{3}} ):
[
(12.56)^{\frac{1}{3}} \approx 2.34
]
Теперь подставим обратно в уравнение для высоты:
[
h \approx \frac{4}{2.34} \approx 1.71 \text{ м}
]
Итак, высота цилиндра равна примерно 1.71 метра.
