Рассмотрим уравнение:
[
(x^2 - 7x + 6)\sqrt{x^2 - 25} = 0
]
Это уравнение является произведением двух множителей: ((x^2 - 7x + 6)) и (\sqrt{x^2 - 25}). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. Первый множитель:
Рассмотрим квадратное уравнение:
[
x^2 - 7x + 6 = 0
]
Решим его через дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25
]
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2}
]
- (x_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6)
- (x_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1)
Таким образом, решения для первого множителя: (x = 6) и (x = 1).
2. Второй множитель:
Рассмотрим подкоренное выражение:
[
\sqrt{x^2 - 25} = 0
]
Приравняем подкоренное выражение к нулю:
[
x^2 - 25 = 0
]
Решая это уравнение:
[
x^2 = 25
]
[
x = \pm 5
]
Таким образом, решения для второго множителя: (x = 5) и (x = -5).
Окончательные решения:
Сочетая решения от обоих множителей, получаем, что конечные решения уравнения:
[ x = 1, 5, 6, -5 ]
Это все значения (x), при которых исходное уравнение обращается в ноль.
