Для решения задачи о прямой четырёхугольной призме нам нужно найти площади всех её граней и затем суммировать их.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основанием призмы является параллелограмм со сторонами 12 и 3 и острым углом 45°. Площадь ( S_{\text{осн}} ) параллелограмма можно вычислить по формуле:
[
S_{\text{осн}} = ab \sin(\alpha)
]
где:
- ( a = 12 ) (одна сторона),
- ( b = 3 ) (другая сторона),
- ( \alpha = 45^\circ ) (острый угол между сторонами).
Зная, что ( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), можем подставить данные в формулу:
[
S_{\text{осн}} = 12 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 36 \sqrt{2} / 2 = 18\sqrt{2}
]
Шаг 2: Найдем площади боковых граней
Прямая призма имеет 4 боковые грани, каждая из которых является прямоугольником. Высота бокового рёбра призмы равна ( 3\sqrt{2} ).
Площадь одной боковой грани ( S_{\text{бок}} ) можно вычислить для каждого из прямоугольников. У нас 4 боковые грани:
Грани с основанием 12:
[
S_1 = 12 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}
]
Грани с основанием 3:
[
S_2 = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}
]
Поскольку у нас 2 грани с основанием 12 и 2 с основанием 3, суммарные площади всех боковых граней будут:
[
S_{\text{бок}} = 2S_1 + 2S_2 = 2(36\sqrt{2}) + 2(9\sqrt{2}) = 72\sqrt{2} + 18\sqrt{2} = 90\sqrt{2}
]
Шаг 3: Найдем общую площадь всех граней
Общая площадь всех граней ( S ) будет равна сумме площади основания и площадей боковых граней:
[
S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 18\sqrt{2} + 90\sqrt{2} = 108\sqrt{2}
]
Ответ:
Таким образом, сумма площадей всех граней призмы равна ( 108\sqrt{2} ).
Запиши в поле ответа значение:
[
S = 108\sqrt{2}
]
