Решите уравнение ( x 2 − 49 ) 2 + ( x 2 + 18 x + 77 ) 2 = 0 (x 2 −49) 2 +(x 2 +18x+77) 2 =0 .

Чтобы решить уравнение \[ (x^2 - 49)^2 + (x^2 + 18x + 77)^2 = 0, \] мы начнем с того, что у нас есть сумма двух квадратов, и эта сумма равна нулю. Помните, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, для того чтобы сумма была равна нулю, каждая из частей должна быть равна нулю. 1. **Первый квадрат:** \[ (x^2 - 49)^2 = 0 \] Из этого следует, что \[ x^2 - 49 = 0 \] Решим это уравнение: \[ x^2 = 49. \] Теперь найдём корни: \[ x = \sqrt{49} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{49}. \] То есть, \[ x = 7 \quad \text{или} \quad x = -7. \] 2. **Второй квадрат:** \[ (x^2 + 18x + 77)^2 = 0 \] Из этого также следует, что \[ x^2 + 18x + 77 = 0. \] Чтобы решить это квадратное уравнение, можем использовать дискриминант (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 77 = 324 - 308 = 16. \] Так как \(D\) положителен, у уравнения есть два различных решения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 4}{2} = \frac{-14}{2} = -7, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 4}{2} = \frac{-22}{2} = -11. \] Тогда у нас есть следующие решения: - Из первого уравнения: \(x = 7, -7\). - Из второго уравнения: \(x = -7, -11\). Так как \(x = -7\) является решением обоих уравнений, оно считается общим решением. **Итоговые решения:** \[ x = 7, \quad x = -7, \quad x = -11. \]