Решите уравнение ( x 2 − 49 ) 2 + ( x 2 + 18 x + 77 ) 2 = 0 (x 2 −49) 2 +(x 2 +18x+77) 2 =0 .
Чтобы решить уравнение
\[ (x^2 - 49)^2 + (x^2 + 18x + 77)^2 = 0, \]
мы начнем с того, что у нас есть сумма двух квадратов, и эта сумма равна нулю. Помните, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, для того чтобы сумма была равна нулю, каждая из частей должна быть равна нулю.
Первый квадрат: \[ (x^2 - 49)^2 = 0 \] Из этого следует, что \[ x^2 - 49 = 0 \] Решим это уравнение: \[ x^2 = 49. \] Теперь найдём корни: \[ x = \sqrt{49} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{49}. \] То есть, \[ x = 7 \quad \text{или} \quad x = -7. \]
Второй квадрат: \[ (x^2 + 18x + 77)^2 = 0 \] Из этого также следует, что \[ x^2 + 18x + 77 = 0. \] Чтобы решить это квадратное уравнение, можем использовать дискриминант (\(D\)): \[ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 77 = 324 - 308 = 16. \] Так как \(D\) положителен, у уравнения есть два различных решения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 + 4}{2} = \frac{-14}{2} = -7, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-18 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-18 - 4}{2} = \frac{-22}{2} = -11. \]
Тогда у нас есть следующие решения:
- Из первого уравнения: \(x = 7, -7\).
- Из второго уравнения: \(x = -7, -11\).
Так как \(x = -7\) является решением обоих уравнений, оно считается общим решением.
Итоговые решения: \[ x = 7, \quad x = -7, \quad x = -11. \]
