Для решения задачи начнем с обозначения величин, которые нам понадобятся.
Обозначим:
- ( x ) — объем воды, который пропускает вторая труба за минуту (литры в минуту).
- Так как первая труба пропускает на 32 литра воды меньше, то её скорость составит ( x - 32 ) литров в минуту.
Теперь выясним, сколько времени каждой из труб нужно, чтобы заполнить 90 литров резервуара.
Время работы второй трубы:
Время ( t_2 ) (в минутах), которое требуется второй трубе, чтобы заполнить 90 литров:
[
t_2 = \frac{90}{x}
]
Время работы первой трубы:
Время ( t_1 ) (в минутах), которое требуется первой трубе, чтобы заполнить 90 литров:
[
t_1 = \frac{90}{x - 32}
]
Согласно условию, вторая труба заполняет резервуар на 20 минут быстрее, чем первая:
[
t_1 = t_2 + 20
]
Теперь подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в это уравнение:
[
\frac{90}{x - 32} = \frac{90}{x} + 20
]
Теперь избавимся от дробей, умножив всё уравнение на ( x(x - 32) ):
[
90x = 90(x - 32) + 20x(x - 32)
]
Раскроем скобки:
[
90x = 90x - 2880 + 20x^2 - 640
]
Сократим ( 90x ) с обеих сторон:
[
0 = 20x^2 - 2880 - 640
]
[
0 = 20x^2 - 3520
]
Теперь упростим уравнение, разделив всё на 20:
[
x^2 - 176 = 0
]
Решим это квадратное уравнение:
[
x^2 = 176
]
[
x = \sqrt{176} \approx 13.27
]
Теперь мы можем найти, сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба:
[
x \approx 13.27
]
Таким образом, вторая труба пропускает примерно 13.27 литров воды в минуту.
Если нужно получить точное значение, ( x ) можно оставить в квадратном корне:
[
x = \sqrt{176} \text{ литров в минуту}
]
Теперь, если мы захотим, можем также посчитать скорость первой трубы:
[
x - 32 \approx 13.27 - 32 \approx -18.73
]
Так как скорость не может быть отрицательной, это подтверждает, что расчёт не может закончиться на отрицательном значении. Поэтому, результат выше был только для второй трубы.
