а) x² + 2x - 48 <0 б) 2x² - 7x + 6 >0
Давайте решим каждое неравенство последовательно.
задача (а): \( x^2 + 2x - 48 < 0 \)
Найдем корни уравнения:
Для этого используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), и \( c = -48 \): \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \]Найдем корни:
Корни уравнения находим по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]Построим числовую ось и определим интервалы:
У нас есть два корня: \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = -8 \). Теперь определяем интервалы, в которых возможно выполнение неравенства:- \( (-\infty, -8) \)
- \( (-8, 6) \)
- \( (6, \infty) \)
Проверим каждый интервал:
- Для \( x < -8 \) (например, \( x = -9 \)): \[ (-9)^2 + 2(-9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0 \]
- Для \( -8 < x < 6 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 + 2(0) - 48 = -48 < 0 \]
- Для \( x > 6 \) (например, \( x = 7 \)): \[ 7^2 + 2(7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0 \]
Итак, решение неравенства: \[ (-8, 6) \]
задача (б): \( 2x^2 - 7x + 6 > 0 \)
Найдем корни уравнения:
Опять используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 2 \), \( b = -7 \), \( c = 6 \): \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1 \]Найдем корни:
По той же формуле: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5 \]Построим числовую ось и определим интервалы:
У нас есть два корня: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 1.5 \). Теперь определим интервалы:- \( (-\infty, 1.5) \)
- \( (1.5, 2) \)
- \( (2, \infty) \)
Проверим каждый интервал:
- Для \( x < 1.5 \) (например, \( x = 1 \)): \[ 2(1^2) - 7(1) + 6 = 2 - 7 + 6 = 1 > 0 \]
- Для \( 1.5 < x < 2 \) (например, \( x = 1.75 \)): \[ 2(1.75^2) - 7(1.75) + 6 = 2(3.0625) - 12.25 + 6 = 6.125 - 12.25 + 6 = -0.125 < 0 \]
- Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ 2(3^2) - 7(3) + 6 = 18 - 21 + 6 = 3 > 0 \]
Итак, решение неравенства: \[ (-\infty, 1.5) \cup (2, +\infty) \]
Итоги:
- Решение (а): \( (-8, 6) \)
- Решение (б): \( (-\infty, 1.5) \cup (2, +\infty) \)
