25. Углы при одном из оснований трапеции равны 1 0 ∘ 10 ∘ и 8 0 ∘ 80 ∘ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 9 9 и 2 2 . Найди основания…

Чтобы решить задачу о нахождении оснований трапеции, начнем с анализа информации, которую мы имеем.

1. Определения и обозначения: Пусть \(ABCD\) — трапеция, где основание \(AB\) — верхнее, а основание \(CD\) — нижнее. Пусть углы при основании \(AB\) будут следующими:

   • Угол \(A\) = \(10^\circ\)
   • Угол \(B\) = \(80^\circ\)

   Мы также знаем, что длины отрезков, соединяющих середины оснований, равны \(m_1 = 99\) и \(m_2 = 22\).

2. Сумма углов: Так как противолежащие углы в трапеции составляют \(180^\circ\): \[ \angle A + \angle D = 180^\circ \\ \angle B + \angle C = 180^\circ \] Следовательно, \(\angle D = 170^\circ\) и \(\angle C = 100^\circ\).

3. Формула средней линии: Длина средней линии \(m\) трапеции (отрезка, соединяющего середины сторон) выражается как: \[ m = \frac{AB + CD}{2} \]

4. Разделим основание \(AB\) на \(x\) и основание \(CD\) на \(y\): Подставим попеременно длины в формулу. У нас есть две средней линии, так что: \[ m_1 = \frac{x + y}{2} = 99 \\ m_2 = \frac{x + y}{2} = 22 \]

   Отсюда у нас есть система, которая может быть разной. Попробуем установить условия.

5. Условия на основании из длин отрезков: Поскольку отрезки \(m_1\) и \(m_2\) являются промежуточными, это немного подразумевает, например: \[ 99 + 22 = x + y \] \[ x + y = 121 \]

6. Решение полученных уравнений: Подставляем \(x + y = 121\) в выражение средней линии: \[ 121 = 2 \cdot 99 - 22 \]

7. Система уравнений: Теперь у нас \(x + y = 121\) и \(x - y = 77\): \[ \begin{cases} x + y = 121\\ x - y = 77 \end{cases} \]

   Сложим оба уравнения: \[ (x+y) + (x-y) = 121 + 77 \\ 2x = 198 \\ x = 99 \]

   Подставим \(x\) в первое уравнение: \[ 99 + y = 121 \\ y = 22 \]

8. Итого: Основания трапеции \(AB\) и \(CD\) равны 22 и 99. Записываем ответ в порядке возрастания: \[ 22;99 \]

Таким образом, результат: \[ \text{Ответ: } 22;99 \]