Для решения задачи о движении протона в однородном магнитном поле и его торможении электрическим полем, давайте пройдемся по шагам.
Шаг 1: Определим скорость протона
Протон движется по круговой орбите, и на него действует центростремительное ускорение, которое обеспечивается магнитной силой. Сила Лоренца (F) в магнитном поле определяется по формуле:
[
F = q \cdot v \cdot B,
]
где:
- (F) — сила Лоренца,
- (q) — заряд протона,
- (v) — скорость протона,
- (B) — магнитная индукция.
Для кругового движения центростремительная сила также равна:
[
F = \frac{m \cdot v^2}{R},
]
где:
- (m) — масса протона,
- (R) — радиус окружности.
Теперь у нас есть два выражения для силы (F):
[
q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{R}.
]
Шаг 2: Упростим уравнение и найдём скорость (v)
Перепишем уравнение:
[
q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{R}.
]
Теперь упростим его, выразив (v):
[
q \cdot B = \frac{m \cdot v}{R}.
]
Отсюда мы можем выразить скорость (v):
[
v = \frac{q \cdot B \cdot R}{m}.
]
Шаг 3: Подставим известные значения
Из условия задачи:
- (B = 20 , \text{мТл} = 20 \times 10^{-3} , \text{Тл}),
- (R = 5 , \text{м}),
- (m = 1,67 \times 10^{-27} , \text{кг}),
- (q = 1,6 \times 10^{-19} , \text{Кл}).
Теперь подставим значения в формулу для скорости:
[
v = \frac{(1,6 \times 10^{-19} , \text{Кл}) \cdot (20 \times 10^{-3} , \text{Тл}) \cdot (5 , \text{м})}{1,67 \times 10^{-27} , \text{кг}}.
]
Посчитаем числитель:
[
v = \frac{(1,6 \cdot 20 \cdot 5) \times 10^{-19} \times 10^{-3}}{1,67 \times 10^{-27}} \text{ м/с}.
]
[
v = \frac{160 \times 10^{-22}}{1,67 \times 10^{-27}}.
]
Теперь вычислим:
[
v \approx 9.58 \times 10^{5} , \text{м/с}.
]
Шаг 4: Определим тормозящую разность потенциалов
При вылете из магнитного поля протон тормозится в однородном электрическом поле. Работу, необходимую для торможения протона (изменение его кинетической энергии), можно выразить через разность потенциалов (U):
[
W = q \cdot U,
]
где (W) — работа, выполненная электрическим полем.
Кинетическая энергия (K) протона перед торможением:
[
K = \frac{1}{2} m v^2.
]
Подставим значение скорости:
[
K = \frac{1}{2} \cdot (1,67 \times 10^{-27} , \text{кг}) \cdot (9.58 \times 10^{5} , \text{м/с})^2.
]
Посчитаем кинетическую энергию:
[
K \approx \frac{1}{2} \cdot 1,67 \times 10^{-27} \cdot 9.16 \times 10^{11} \approx 7.63 \times 10^{-16} , \text{Дж}.
]
Теперь приравняем работу к кинетической энергии:
[
q \cdot U = K.
]
[
U = \frac{K}{q} = \frac{7.63 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}}.
]
[
U \approx 4756,25 , \text{В}.
]
Ответ
Тормозящая разность потенциалов составляет примерно 4756 В (или 4.76 кВ).
