Для расчёта изменения массы  m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула   m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ​ ⋅2 − T τ ​ , где  m 0 m 0 ​  — начальная масса изотопа (в мг),  τ τ — время, которое прошло от начального момента (в мин),  T T — период полураспада (в мин). Найди, через сколько минут масса изотопа составит  65 65 мг, если в начальный момент его масса была  520 520 мг, а период полураспада составляет  2 2 минуты.

Чтобы решить задачу о распаде радиоактивного изотопа, воспользуемся данной формулой: \[ m = m_0 \cdot 2^{-\frac{τ}{T}} \] где: - \( m \) — масса изотопа в данный момент (в мг), - \( m_0 \) — начальная масса изотопа (в мг), - \( τ \) — время, прошедшее с момента начала распада (в мин), - \( T \) — период полураспада (в мин). В нашем случае: - \( m_0 = 520 \) мг, - \( m = 65 \) мг, - \( T = 2 \) мин. Мы ищем время \( τ \) (в мин), при котором масса изотопа составит 65 мг. Подставим известные значения в формулу: 1. **Подставим значения в формулу:** \[ 65 = 520 \cdot 2^{-\frac{τ}{2}} \] 2. **Разделим обе стороны уравнения на 520:** \[ \frac{65}{520} = 2^{-\frac{τ}{2}} \] 3. **Упростим дробь \( \frac{65}{520} \):** \[ \frac{65}{520} = \frac{1}{8} \] Следовательно, уравнение принимает вид: \[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{τ}{2}} \] 4. **Запишем \( \frac{1}{8} \) как степень двойки:** Так как \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \), то у нас получается: \[ 2^{-3} = 2^{-\frac{τ}{2}} \] 5. **Сравним показатели степеней:** Сравнив показатели, мы получаем: \[ -3 = -\frac{τ}{2} \] 6. **Умножим обе стороны на -1:** \[ 3 = \frac{τ}{2} \] 7. **Умножим обе стороны на 2, чтобы найти \( τ \):** \[ τ = 6 \] Таким образом, время, через которое масса изотопа составит 65 мг, равно 6 минутам. **Ответ:** 6 минут.