Для расчёта изменения массы m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ⋅2 − T τ , где m 0 m 0 — начальная масса изотопа…
Для расчёта изменения массы m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ⋅2 − T τ , где m 0 m 0 — начальная масса изотопа (в мг), τ τ — время, которое прошло от начального момента (в мин), T T — период полураспада (в мин). Найди, через сколько минут масса изотопа составит 65 65 мг, если в начальный момент его масса была 520 520 мг, а период полураспада составляет 2 2 минуты.
Чтобы решить задачу о распаде радиоактивного изотопа, воспользуемся данной формулой:
\[ m = m_0 \cdot 2^{-\frac{τ}{T}} \]
где:
- \( m \) — масса изотопа в данный момент (в мг),
- \( m_0 \) — начальная масса изотопа (в мг),
- \( τ \) — время, прошедшее с момента начала распада (в мин),
- \( T \) — период полураспада (в мин).
В нашем случае:
- \( m_0 = 520 \) мг,
- \( m = 65 \) мг,
- \( T = 2 \) мин.
Мы ищем время \( τ \) (в мин), при котором масса изотопа составит 65 мг. Подставим известные значения в формулу:
- Подставим значения в формулу:
\[ 65 = 520 \cdot 2^{-\frac{τ}{2}} \]
- Разделим обе стороны уравнения на 520:
\[ \frac{65}{520} = 2^{-\frac{τ}{2}} \]
- Упростим дробь \( \frac{65}{520} \):
\[ \frac{65}{520} = \frac{1}{8} \]
Следовательно, уравнение принимает вид:
\[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{τ}{2}} \]
- Запишем \( \frac{1}{8} \) как степень двойки:
Так как \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \), то у нас получается:
\[ 2^{-3} = 2^{-\frac{τ}{2}} \]
- Сравним показатели степеней:
Сравнив показатели, мы получаем:
\[ -3 = -\frac{τ}{2} \]
- Умножим обе стороны на -1:
\[ 3 = \frac{τ}{2} \]
- Умножим обе стороны на 2, чтобы найти \( τ \):
\[ τ = 6 \]
Таким образом, время, через которое масса изотопа составит 65 мг, равно 6 минутам.
Ответ: 6 минут.
