Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4 ), нам нужно выполнить интегрирование данной функции. Первообразная (или неопределенный интеграл) функции ( f(x) ) обозначается как ( F(x) ), и мы можем выразить ее как:
[
F(x) = \int f(x) , dx
]
Давайте интегрируем ( f(x) ) шаг за шагом.
Шаг 1: Интегрирование каждого члена
Интегрирование происходит по каждому члену функции отдельно.
Интегрируем первый член ( 2x^3 ):
[
\int 2x^3 , dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{2}x^4
]
Интегрируем второй член ( 3x^2 ):
[
\int 3x^2 , dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
]
Интегрируем третий член ( -4 ):
[
\int -4 , dx = -4x
]
Шаг 2: Сложение результатов
Теперь мы можем сложить все найденные первообразные:
[
F(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C
]
где ( C ) — это константа интегрирования, которая добавляется, поскольку неопределенный интеграл может иметь множество решений, отличающихся на постоянное значение.
Ответ
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4 ) будет:
[
F(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C
]
Где ( C ) — произвольная константа.
