В классе 14 девочек и 12 мальчиков. Сколькими способами можно выделить группу из трех человек, если нужно выбрать двух девочек и одного мальчика?

Давайте решим задачу и разберемся, как выбрать группу из трех человек, состоящую из двух девочек и одного мальчика.

Шаг 1: Определение количества способов выбрать девочек

В классе у нас 14 девочек. Нам нужно выбрать 2 из них. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \(C(n, k)\) — это количество способов выбрать \(k\) объектов из \(n\), а \(n!\) (факториал n) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

В нашем случае \(n = 14\) и \(k = 2\):

\[ C(14, 2) = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14!}{2! \cdot 12!} = \frac{14 \cdot 13}{2 \cdot 1} = 91 \]

Таким образом, существует 91 способ выбрать 2 девочки.

Шаг 2: Определение количества способов выбрать мальчиков

Теперь у нас есть 12 мальчиков, и нужно выбрать 1 мальчика. Для этого также используем формулу сочетаний:

\[ C(12, 1) = \frac{12!}{1!(12-1)!} = \frac{12!}{1! \cdot 11!} = \frac{12}{1} = 12 \]

То есть, существует 12 способов выбрать 1 мальчика.

Шаг 3: Определение общего количества комбинаций

Теперь, чтобы найти общее количество способов выделить группу из 3 человек (двух девочек и одного мальчика), мы просто перемножаем количество способов выбора девочек и количество способов выбора мальчиков:

\[ \text{Общее количество способов} = C(14, 2) \cdot C(12, 1) = 91 \cdot 12 \]

Теперь произведем умножение:

\[ 91 \cdot 12 = 1092 \]

Ответ

Таким образом, общее количество способов выделить группу из трех человек, состоящую из двух девочек и одного мальчика, равно 1092.