Для решения задачи необходимо выяснить, в какой системе счисления число 242 соответствует десятичному числу 98.
Обозначим основание системы счисления как ( b ). В этой системе счисления число 242 можно представить в виде:
[
2 \cdot b^2 + 4 \cdot b^1 + 2 \cdot b^0
]
Теперь упрощаем данное выражение:
[
2b^2 + 4b + 2
]
Мы знаем, что это должно быть равно 98:
[
2b^2 + 4b + 2 = 98
]
Теперь перенесем 98 в левую часть уравнения:
[
2b^2 + 4b + 2 - 98 = 0
]
Упростим уравнение:
[
2b^2 + 4b - 96 = 0
]
Теперь упростим его, разделив все коэффициенты на 2:
[
b^2 + 2b - 48 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с использованием формулы корней квадратного уравнения:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
]
Где ( A = 1 ), ( B = 2 ), ( C = -48 ).
Подставим значения:
[
b = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1}
]
Вычислим подкоренное выражение:
[
b = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}
]
[
b = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2}
]
[
b = \frac{-2 \pm 14}{2}
]
Теперь вычислим оба возможных значения ( b ):
- ( b_1 = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 )
- ( b_2 = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 ) (отрицательное основание не имеет смысла)
Таким образом, основание системы счисления:
[
\boxed{6}
]
