попарно различные a,b и с таковы, что a³-3a=b³-3b=c³-3c. Найдите a²+ab+b²
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условие:
У нас есть три различных числа \( a, b, c \), такие что выполняется равенство:
\[ a^3 - 3a = b^3 - 3b = c^3 - 3c \]
Наша цель — найти выражение \( a^2 + ab + b^2 \).
Шаг 1: Исследуем равенство
Обозначим:
\[ k = a^3 - 3a = b^3 - 3b = c^3 - 3c \]
Это означает, что для каждого из трех чисел \( a, b, c \) мы можем записать:
- \( a^3 - 3a = k \)
- \( b^3 - 3b = k \)
- \( c^3 - 3c = k \)
Шаг 2: Занимаемся уравнением
Перепишем \( k \) для \( a, b, c \):
\[ a^3 - 3a - k = 0 \] \[ b^3 - 3b - k = 0 \] \[ c^3 - 3c - k = 0 \]
Это уравнение является кубическим, и по теореме Виета, если у уравнения есть три различных корня \( a, b, c \), то можно записать уравнение как:
\[ x^3 - 3x - k = 0 \]
Шаг 3: Находим корни
Обозначим \( f(x) = x^3 - 3x \). Мы можем найти производную функции:
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \]
Функция имеет критические точки в \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Теперь мы определим значения в этих точках:
\[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \]
Также найдём значения для других точек:
\[ f(0) = 0^3 - 3(0) = 0 \] \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2 \] \[ f(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2 \]
Поскольку \( f(-2) < 0 < f(-1) \) и \( f(1) < 0 < f(2) \), мы можем утверждать, что у кубического уравнения есть три действительных корня \( a, b, c \).
Шаг 4: Находим \( a^2 + ab + b^2 \)
Согласно свойствам кубических уравнений, сумма корней \( a + b + c = 0 \), а произведение \( ab + ac + bc = -3 \) и \( abc = k \).
Теперь выражение для суммы квадратов:
\[ a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (-(c))^2 - ab = c^2 - ab \]
Шаг 5: Используем значения
Но мы также знаем, что \( ab + ac + bc = -3 \).
Следовательно:
\[ ab = -3 - c(a + b) = -3 \]
Теперь подставим значение:
\[ a^2 + ab + b^2 = -3 + 3 = 0 \]
Ответ:
Итак, мы можем заключить, что \( a^2 + ab + b^2 = 3 \).
