разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а его гипотенуза равна 37 см. найдите площадь треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов. Из условия задачи мы знаем, что разность катетов равна 23 см, а длина гипотенузы — 37 см. Обозначим катеты как \( a \) и \( b \), при этом давайте предположим, что \( a > b \). Тогда у нас есть следующие два уравнения:

1. \( a - b = 23 \) (разность катетов)
2. \( a^2 + b^2 = 37^2 \) (по теореме Пифагора)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Шаг 1: Выразим \( a \) через \( b \)

Из первого уравнения можем выразить \( a \): \[ a = b + 23 \]

Шаг 2: Подставим выражение для \( a \) во второе уравнение

Теперь подставим \( a \) в уравнение из теоремы Пифагора: \[ (b + 23)^2 + b^2 = 37^2 \]

Шаг 3: Развернём и упростим уравнение

Теперь раскроем скобки и упростим: \[ (b^2 + 46b + 529) + b^2 = 1369 \] \[ 2b^2 + 46b + 529 = 1369 \] Теперь вычтем 1369 из обеих сторон: \[ 2b^2 + 46b + 529 - 1369 = 0 \] \[ 2b^2 + 46b - 840 = 0 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Чтобы упростить, можем разделить всё на 2: \[ b^2 + 23b - 420 = 0 \]

Шаг 5: Найдём корни уравнения

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \] где \( A = 1, B = 23, C = -420 \): \[ b = \frac{-23 \pm \sqrt{23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420)}}{2 \cdot 1} \] \[ b = \frac{-23 \pm \sqrt{529 + 1680}}{2} = \frac{-23 \pm \sqrt{2209}}{2} \] \[ \sqrt{2209} = 47 \] Таким образом, корни: \[ b = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] или \[ b = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35 \quad (\text{не подходит, так как длина не может быть негативной}) \] Итак, \( b = 12 \).

Шаг 6: Найдём \( a \)

Теперь подставим \( b \) в выражение для \( a \): \[ a = b + 23 = 12 + 23 = 35 \]

Теперь у нас есть длины катетов: \( a = 35 \) см и \( b = 12 \) см.

Шаг 7: Найдём площадь треугольника

Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210 \text{ см}^2 \]

Ответ

Площадь прямоугольного треугольника составляет 210 см².