Решим уравнение ( x^2 + 125 = 0 ) шаг за шагом.
Шаг 1: Изолируем ( x^2 )
Сначала перенесём ( 125 ) в правую часть уравнения:
[
x^2 = -125
]
Шаг 2: Найдем корень
Теперь, чтобы найти ( x ), извлекём квадратный корень из обоих сторон уравнения. Однако, мы видим, что беремем квадратный корень из отрицательного числа, поэтому:
[
x = \pm \sqrt{-125}
]
Шаг 3: Упрощаем корень
Зная, что (\sqrt{-1} = i) (мнимая единица), мы можем переписать выражение:
[
x = \pm \sqrt{125} \cdot i
]
Теперь упрощаем (\sqrt{125}):
[
\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}
]
Таким образом:
[
x = \pm 5\sqrt{5} \cdot i
]
Ответ:
Находим, что уравнение ( x^2 + 125 = 0 ) имеет два мнимых корня:
[
x_1 = 5\sqrt{5}i, \quad x_2 = -5\sqrt{5}i
]
Это говорит о том, что у нашего уравнения нет действительных решений, и все корни являются комплексными.
