Из А в В одновременно выехали два трейлера. Первый проехал с п стоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути скоростью, большей скорости первого на 10 км/ч, а…
Из А в В одновременно выехали два трейлера. Первый проехал с п стоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути скоростью, большей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину ти — со скоростью 72 км/ч, в результате чего прибыл в В одновремен с первым трейлером. Найдите скорость первого трейлера.
Для решения задачи давайте обозначим скорость первого трейлера как \( v_1 \) (в км/ч) и проложим по шагам, чтобы понять, как рассчитывать время, затраченное каждым трейлером на преодоление пути.
Определение расстояния:
Пусть расстояние от А до В равно \( S \) километрам. Тогда первая половина пути это \( \frac{S}{2} \), а вторая половина — тоже \( \frac{S}{2} \).Время в пути для первого трейлера:
Первый трейлер, который двигался со скоростью \( v_1 \), проедет всё расстояние \( S \) за время: \[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]Время в пути для второго трейлера:
Второй трейлер проезжает первую половину пути со скоростью на 10 км/ч больше, чем первый, то есть со скоростью \( v_1 + 10 \) км/ч. Время, которое он затрачивает на первую половину пути: \[ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 + 10} = \frac{S}{2(v_1 + 10)} \]На вторую половину пути второй трейлер движется со скоростью 72 км/ч: \[ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{72} = \frac{S}{144} \]
Общее время в пути для второго трейлера:
Полное время в пути второго трейлера будет равно сумме времени на обе половины пути: \[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{2(v_1 + 10)} + \frac{S}{144} \]Уравнение времени:
Поскольку оба трейлера прибыли в пункт В одновременно, мы можем приравнять времена: \[ t_1 = t_2 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{2(v_1 + 10)} + \frac{S}{144} \]Сокращение на \( S \) (принимаем \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 + 10)} + \frac{1}{144} \]
Упрощение уравнения:
Умножим все части уравнения на \( 144v_1 \cdot 2(v_1 + 10) \) для устранения дробей: \[ 144 \cdot 2(v_1 + 10) = 72v_1 + 144v_1 + v_1 \cdot 20(v_1 + 10) \] Распределим и упростим: \[ 288(v_1 + 10) = 216v_1 + 20v_1^2 + 200v_1 \] \[ 288v_1 + 2880 = 236v_1 + 20v_1^2 \] Приведем подобные: \[ 20v_1^2 - 52v_1 - 2880 = 0 \]Решение квадратного уравнения:
Используем формулу дискриминанта: \[ D = (-52)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-2880) = 2704 + 230400 = 233104 \] Находим корни уравнения: \[ v_1 = \frac{52 \pm \sqrt{233104}}{2 \cdot 20} \]Приблизительно, \(\sqrt{233104} \approx 483\), итак: \[ v_1 \approx \frac{52 \pm 483}{40} \] Проверим положительный корень: \[ v_1 = \frac{535}{40} \approx 13.375 \text{ км/ч} \quad \text{(отрицательный корень вернемся не имеет смысла)} \]
Таким образом, скорость первого трейлера составляет приблизительно 13,4 км/ч.
