Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления вероятности получения определённого количества успехов в серии независимых испытаний. В нашем случае это испытания подбрасывания симметричной монеты. Вероятность получения решки при каждом подбрасывании равна ( p = 0.5 ).
Обозначим количество подбрасываний:
- ( n = 16 ) (общее количество подбрасываний)
- ( k ) (количество успешных результатов, то есть количество решек)
Вероятность того, что монета выпала решкой ровно ( k ) раз из ( n ) подбрасываний, можно выразить через биномиальное распределение:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Теперь мы можем вычислить вероятности для двух событий:
Вероятность «монета выпала решкой ровно 10 раз»:
[
P(X = 10) = C(16, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{16-10} = C(16, 10) \cdot (0.5)^{16}
]
Вероятность «монета выпала решкой ровно 13 раз»:
[
P(X = 13) = C(16, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{16-13} = C(16, 13) \cdot (0.5)^{16}
]
Теперь найдем биномиальные коэффициенты:
[
C(16, 10) = \frac{16!}{10! \cdot 6!}, \quad C(16, 13) = \frac{16!}{13! \cdot 3!}
]
Можно заметить, что ( C(16, 10) = C(16, 6) ) и ( C(16, 13) = C(16, 3) ) (по свойству симметрии биномиальных коэффициентов).
Теперь вычислим эти значения:
- ( C(16, 10) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008 )
- ( C(16, 13) = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 )
Теперь подставим эти значения в формулы вероятностей:
- ( P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16} )
- ( P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16} )
Теперь найдем отношение вероятностей ( \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} ):
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560}
]
Теперь упростим это выражение:
[
\frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 56}{560 \div 56} = \frac{143}{10} = 14.3
]
Таким образом, вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» в ( 14.3 ) раз.
