Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления вероятности получения определённого количества успехов в серии независимых испытаний. В нашем случае это испытания подбрасывания симметричной монеты. Вероятность получения решки при каждом подбрасывании равна \( p = 0.5 \).

Обозначим количество подбрасываний:

• \( n = 16 \) (общее количество подбрасываний)
• \( k \) (количество успешных результатов, то есть количество решек)

Вероятность того, что монета выпала решкой ровно \( k \) раз из \( n \) подбрасываний, можно выразить через биномиальное распределение:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь мы можем вычислить вероятности для двух событий:

1. Вероятность «монета выпала решкой ровно 10 раз»: \[ P(X = 10) = C(16, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{16-10} = C(16, 10) \cdot (0.5)^{16} \]

2. Вероятность «монета выпала решкой ровно 13 раз»: \[ P(X = 13) = C(16, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{16-13} = C(16, 13) \cdot (0.5)^{16} \]

Теперь найдем биномиальные коэффициенты:

\[ C(16, 10) = \frac{16!}{10! \cdot 6!}, \quad C(16, 13) = \frac{16!}{13! \cdot 3!} \]

Можно заметить, что \( C(16, 10) = C(16, 6) \) и \( C(16, 13) = C(16, 3) \) (по свойству симметрии биномиальных коэффициентов).

Теперь вычислим эти значения:

• \( C(16, 10) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008 \)
• \( C(16, 13) = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \)

Теперь подставим эти значения в формулы вероятностей:

1. \( P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16} \)
2. \( P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16} \)

Теперь найдем отношение вероятностей \( \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} \):

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560} \]

Теперь упростим это выражение:

\[ \frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 56}{560 \div 56} = \frac{143}{10} = 14.3 \]

Таким образом, вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» в \( 14.3 \) раз.