Для решения этой задачи давайте обозначим двузначное число, которое написала Кристина, как ( x ). Поскольку это двузначное число, оно может принимать значения от 10 до 99.
Когда Ярик дописывает такое же число справа, у нас получается четырёхзначное число, которое можно записать так:
[
y = 100 \times x + x = 101 \times x
]
Здесь ( y ) - это четыре цифры, которые Ярик увидел. По условию задачи, это число ( y ) должно делиться на 13. Таким образом, у нас есть следующее равенство:
[
101 \times x \equiv 0 \mod 13
]
Теперь нужно узнать, чему равняется ( 101 \mod 13 ).
Делим 101 на 13:
[
101 \div 13 \approx 7.769
]
Таким образом, 13 умножаем на 7:
[
13 \times 7 = 91
]
Теперь вычтем 91 из 101, чтобы найти остаток:
[
101 - 91 = 10
]
Таким образом, ( 101 \equiv 10 \mod 13 ). Значит, чтобы ( 101 \times x ) делилось на 13, ( x ) должно удовлетворять следующему условию:
[
10 \times x \equiv 0 \mod 13
]
Чтобы ( 10 \times x ) делилось на 13, ( x ) должно быть кратным ( \frac{13}{\text{НОД}(10, 13)} = 13 ). Поскольку 10 и 13 не имеют общих делителей (НОД = 1), получается, что ( x ) должно быть кратным 13.
Теперь найдем двузначные числа, которые кратны 13:
- ( 13 )
- ( 26 )
- ( 39 )
- ( 52 )
- ( 65 )
- ( 78 )
- ( 91 )
Сейчас проверим каждое из этих чисел, делится ли полученное четырёхзначное число ( 101 \times x ) на 13.
Для ( x = 13 ):
[
101 \times 13 = 1313 \quad (\text{делится на } 13)
]
Для ( x = 26 ):
[
101 \times 26 = 2626 \quad (\text{делится на } 13)
]
Для ( x = 39 ):
[
101 \times 39 = 3939 \quad (\text{делится на } 13)
]
Для ( x = 52 ):
[
101 \times 52 = 5252 \quad (\text{делится на } 13)
]
Для ( x = 65 ):
[
101 \times 65 = 6565 \quad (\text{делится на } 13)
]
Для ( x = 78 ):
[
101 \times 78 = 7878 \quad (\text{делится на } 13)
]
Для ( x = 91 ):
[
101 \times 91 = 9191 \quad (\text{делится на } 13)
]
Все числа, которые мы проверяли, делятся на 13. Таким образом, Кристина могла написать одно из следующих чисел: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.
