Кристина написала на листе бумаги двузначное число и показала его Ярику. Ярик понял, что это число делится на 4 , и дописал такое же число справа. В результате получилось…
Кристина написала на листе бумаги двузначное число и показала его Ярику. Ярик понял, что это число делится на 4, и дописал такое же число справа. В результате получилось четырёхзначное число, которое можно поделить на 13. Какое число написала Кристина?
Для решения этой задачи давайте обозначим двузначное число, которое написала Кристина, как \( x \). Поскольку это двузначное число, оно может принимать значения от 10 до 99.
Когда Ярик дописывает такое же число справа, у нас получается четырёхзначное число, которое можно записать так:
\[ y = 100 \times x + x = 101 \times x \]
Здесь \( y \) - это четыре цифры, которые Ярик увидел. По условию задачи, это число \( y \) должно делиться на 13. Таким образом, у нас есть следующее равенство:
\[ 101 \times x \equiv 0 \mod 13 \]
Теперь нужно узнать, чему равняется \( 101 \mod 13 \).
Делим 101 на 13:
\[ 101 \div 13 \approx 7.769 \]
Таким образом, 13 умножаем на 7:
\[ 13 \times 7 = 91 \]
Теперь вычтем 91 из 101, чтобы найти остаток:
\[ 101 - 91 = 10 \]
Таким образом, \( 101 \equiv 10 \mod 13 \). Значит, чтобы \( 101 \times x \) делилось на 13, \( x \) должно удовлетворять следующему условию:
\[ 10 \times x \equiv 0 \mod 13 \]
Чтобы \( 10 \times x \) делилось на 13, \( x \) должно быть кратным \( \frac{13}{\text{НОД}(10, 13)} = 13 \). Поскольку 10 и 13 не имеют общих делителей (НОД = 1), получается, что \( x \) должно быть кратным 13.
Теперь найдем двузначные числа, которые кратны 13:
- \( 13 \)
- \( 26 \)
- \( 39 \)
- \( 52 \)
- \( 65 \)
- \( 78 \)
- \( 91 \)
Сейчас проверим каждое из этих чисел, делится ли полученное четырёхзначное число \( 101 \times x \) на 13.
Для \( x = 13 \): \[ 101 \times 13 = 1313 \quad (\text{делится на } 13) \]
Для \( x = 26 \): \[ 101 \times 26 = 2626 \quad (\text{делится на } 13) \]
Для \( x = 39 \): \[ 101 \times 39 = 3939 \quad (\text{делится на } 13) \]
Для \( x = 52 \): \[ 101 \times 52 = 5252 \quad (\text{делится на } 13) \]
Для \( x = 65 \): \[ 101 \times 65 = 6565 \quad (\text{делится на } 13) \]
Для \( x = 78 \): \[ 101 \times 78 = 7878 \quad (\text{делится на } 13) \]
Для \( x = 91 \): \[ 101 \times 91 = 9191 \quad (\text{делится на } 13) \]
Все числа, которые мы проверяли, делятся на 13. Таким образом, Кристина могла написать одно из следующих чисел: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.
