Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть вероятность того, что именно дед Антон будет выбран одним из трех человек из семьи, состоящей из 13 человек. Для этого мы будем использовать формулу вероятности.
Шаг 1: Определение общего количества способов выбрать 3 человек из 13
Чтобы узнать, сколько способов можно выбрать 3 человека из 13, мы используем комбинаторику. Количество способов выбрать ( k ) элементов из ( n ) — это биномиальные коэффициенты, которые обычно обозначаются как ( C(n, k) ) или ( \binom{n}{k} ):
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
В нашем случае ( n = 13 ) и ( k = 3 ):
[
C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1716}{6} = 286
]
Итак, существует 286 способов выбрать 3 человека из 13.
Шаг 2: Определение благоприятных способов выбрать 3 человека с дедушкой Антоном
Теперь нам нужно узнать, сколько из этих выборок включает деда Антона. Если мы уже выбрали деда Антона, то нам нужно выбрать еще 2 человека из оставшихся 12:
[
C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = \frac{132}{2} = 66
]
Таким образом, благоприятных способов выбрать 3 человека, включая деда Антона, — 66.
Шаг 3: Вычисление вероятности
Вероятность того, что дед Антон будет выбран, рассчитывается как отношение количества благоприятных исходов к общему числу исходов:
[
P(\text{Антон выбран}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{66}{286}
]
Шаг 4: Упрощение дроби
Давайте упростим дробь:
[
\frac{66}{286} = \frac{33}{143}
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что дед Антон будет вскапывать грядки, равна ( \frac{33}{143} ).
