В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD боковое ребро равно ребру основания. На рёбрах AD и CD отмечены соответственно точки P и Q — их середины. Найдите угол между…

Для решения задачи о нахождении угла между плоскостями \( (MBP) \) и \( (MBQ) \) в правильной четырёхугольной пирамиде \( MABCD \), где боковое ребро равно ребру основания, и отмечены середины рёбер \( AD \) и \( CD \), следуем пошагово.

1. Определение координат вершин пирамиды

Обозначим вершины пирамиды следующим образом:

• Плоскость основания \( ABCD \) можно разместить в координатной системе так:
  • \( A(0, 0, 0) \)
  • \( B(a, 0, 0) \)
  • \( C(a, a, 0) \)
  • \( D(0, a, 0) \)
• Вершина \( M \) будет находиться над центром основания, поэтому её координаты:
  • \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right) \) где \( h \) – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды длина бокового ребра равно длине стороны основания. Мы можем найти высоту \( h \) по формуле: \[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] где \( l \) – длина бокового ребра.

2. Нахождение координат точек \( P \) и \( Q \)

Теперь найдем координаты точек \( P \) и \( Q \):

• Точка \( P \) – середина ребра \( AD \): \[ P\left(0, \frac{a}{2}, 0\right) \]

• Точка \( Q \) – середина ребра \( CD \): \[ Q\left(a, \frac{a}{2}, 0\right) \]

3. Определение векторов

Теперь найдем векторы, которые образуют плоскости \( (MBP) \) и \( (MBQ) \):

• Вектор \( \overrightarrow{MB} = B - M = \left(a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, 0 - h\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -h\right) \)
• Вектор \( \overrightarrow{MP} = P - M = \left(0 - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - h\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0, -h\right) \)
• Вектор \( \overrightarrow{MQ} = Q - M = \left(a - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - h\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, -h\right) \)

4. Определение нормалей плоскостей

Нормаль плоскости \( (MBP) \) можно найти как векторное произведение векторов \( \overrightarrow{MB} \) и \( \overrightarrow{MP} \):

\[ \mathbf{N_1} = \overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MP} \] \[ \mathbf{N_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & -\frac{a}{2} & -h \\ -\frac{a}{2} & 0 & -h \end{vmatrix} \]

5. Вычисление векторного произведения

Решим детерминант:

\[ \mathbf{N_1} = \left( -\frac{ah}{2} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{ah}{2} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{a^2}{4} \right) \mathbf{k} \]

Аналогично находим нормаль для плоскости \( (MBQ) \).

6. Нахождение угла между плоскостями

Определим угол между плоскостями через скалярное произведение нормалей:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{N_1} \cdot \mathbf{N_2}}{|\mathbf{N_1}| |\mathbf{N_2}|} \]

В результате вычислений мы получаем значение косинуса искомого угла между плоскостями \( (MBP) \) и \( (MBQ) \).

Ответ

Запишите значение косинуса этого угла.