+ очень кратко составить конспект. по ниже приведённому тексту 111 Окружность, вписанная в правильный многоугольник Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Теорема В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Доказательство Пусть АjАз…А, - правильный многоугольник, О - центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ДО A,A2= AN,A3= … = AN,A1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН = ОН2= … =ОН,. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки Н1, Н2, …, Н, и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник. Рис. 308 Докажем теперь, что вписанная окружность только одна. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная в многоугольник A1А2…Ад. Тогда её центр О1 равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана. Следствие 1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие 2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.