+ очень кратко составить конспект. по ниже приведённому тексту 111 Окружность, вписанная в правильный многоугольник Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник,…
+ очень кратко составить конспект. по ниже приведённому тексту 111 Окружность, вписанная в правильный многоугольник Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Теорема В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Доказательство Пусть АjАз…А, - правильный многоугольник, О - центр описанной окружности (рис. 308). В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что ДО A,A2= AN,A3= … = AN,A1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также будут равны: ОН = ОН2= … =ОН,. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки Н1, Н2, …, Н, и касается сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник. Рис. 308 Докажем теперь, что вписанная окружность только одна. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная в многоугольник A1А2…Ад. Тогда её центр О1 равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана. Следствие 1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие 2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.
Конспект по теме "Окружность, вписанная в правильный многоугольник"
Определение:
- Окружность вписанная в многоугольник касается всех его сторон.
Теорема:
- В любом правильном многоугольнике можно вписать только одну окружность.
Доказательство:
- Рассматриваем правильный многоугольник с вершинами \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) и центром описанной окружности \(O\).
- Все расстояния от центра \(O\) до вершин равны (равнобедренные треугольники).
- Высоты из \(O\) на стороны многоугольника (точки касания \(H_1, H_2, \ldots, H_n\)) равны.
- Таким образом, окружность с центром \(O\) и радиусом, равным расстоянию до любой стороны, будет касаться сторон многоугольника.
- Следовательно, окружность вписана.
Уникальность:
- Если бы существовала другая вписанная окружность с центром \(O_1\), то \(O_1\) должен был бы находиться на биссектрисах углов многоугольника.
- Радиусы этих окружностей равны, если \(O_1\) совпадает с \(O\), следовательно, другая окружность не может существовать.
Следствия:
- Следствие 1: Окружность касается сторон многоугольника в серединах.
- Следствие 2: Центры вписанной и описанной окружностей совпадают и определяют центр правильного многоугольника.
Этот конспект кратко излагает основные понятия и доказательства, связанные с темой вписанной окружности в правильный многоугольник.
