Для решения данной задачи давайте запишем условия и проанализируем ситуацию.
В классе учатся 25 человек. Из них:
- 17 человек участвовали в олимпиаде по математике (обозначим это множество как М).
- 14 человек участвовали в олимпиаде по информатике (обозначим это множество как И).
Мы не знаем, сколько учащихся участвовали в обеих олимпиадах, но можем обозначить количество таких учащихся как (x).
Теперь можем использовать информацию о том, что всего в классе 25 человек, чтобы составить уравнение:
[
|M \cup I| = |M| + |I| - |M \cap I|
]
Здесь:
- ( |M \cup I| ) — количество учащихся, участвовавших хотя бы в одной олимпиаде (это не может превышать 25),
- ( |M| = 17 ),
- ( |I| = 14 ),
- ( |M \cap I| = x ) (количество учащихся, участвующих в обеих олимпиадах).
Таким образом, у нас есть:
[
|M \cup I| = 17 + 14 - x
]
И поскольку ( |M \cup I| \leq 25 ), получаем:
[
17 + 14 - x \leq 25
]
[
31 - x \leq 25
]
[
x \geq 6
]
Это означает, что как минимум 6 учащихся участвовали в обеих олимпиадах.
Теперь давайте проанализируем каждое из утверждений:
Утверждение А
"В этом классе нет учащихся, не участвовавших ни в одной из этих олимпиад."
Мы знаем, что минимум 6 участвуют в обеих олимпиадах. Таким образом, максимальное количество учащихся, не участвовавших ни в одной из олимпиад, определяется как:
[
n_0 = 25 - |M \cup I| = 25 - (31 - x) = x - 6
]
При минимальном (x = 6), (n_0 = 0). Таким образом, можно рассуждать, что при большем (x) будет больше и учащихся, не участвовавших ни в одной олимпиаде. Следовательно, утверждение неверное.
Утверждение Б
"В этом классе обязательно найдутся пять учащихся, участвовавших в каждой из этих двух олимпиад."
Мы уже установили, что минимальное количество учащихся, участвующих в обеих олимпиадах, составляет 6. Следовательно, это утверждение верное.
Утверждение В
"В этом классе обязательно найдутся пять учащихся, не участвовавших в Олимпиаде по информатике, но участвовавших в олимпиаде по математике."
Давайте найдем количество учащихся, участвовавших только в математике:
[
|M| - x = 17 - x
]
При (x = 6), это будет:
[
17 - 6 = 11
]
При (x) увеличении количество этих учащихся может уменьшиться, но все равно останется не менее 11. Следовательно, среди них точно найдется 5 учеников, которые участвовали только в олимпиаде по математике, так что утверждение верное.
Утверждение Г
"В этом классе количество учащихся, участвовавших только в одной из этих двух олимпиад, обязательно больше количества учащихся, не участвовавших ни в одной из этих двух олимпиад."
Количество учащихся, участвовавших только в математике:
[
17 - x
]
Количество учащихся, участвовавших только в информатике:
[
14 - x
]
Общее количество учащихся, участвовавших только в одной олимпиаде:
[
(17 - x) + (14 - x) = 31 - 2x
]
Сравним это с количеством учащихся, не заинтересованных ни в одной олимпиаде:
[
n_0 = x - 6
]
Чтобы утверждение было верным, должно выполняться следующее неравенство:
[
31 - 2x > x - 6
]
[
37 > 3x
]
[
\frac{37}{3} > x
]
При минимальном (x) (то есть 6) у нас в итоге получается:
[
31 - 12 > 0 \Rightarrow 19 > 0
]
Таким образом, это неравенство выполняется. Следовательно, утверждение верное.
Вывод
- А) Неверно
- Б) Верно
- В) Верно
- Г) Верно
