В классе учатся 25 человек, из них 17 человек человек участвовали в олимпиаде по математике, а 14 в олимпиаде по информатике. Выберите верные утверждения. А) в этом классе нет…

Для решения данной задачи давайте запишем условия и проанализируем ситуацию.

В классе учатся 25 человек. Из них:

• 17 человек участвовали в олимпиаде по математике (обозначим это множество как М).
• 14 человек участвовали в олимпиаде по информатике (обозначим это множество как И).

Мы не знаем, сколько учащихся участвовали в обеих олимпиадах, но можем обозначить количество таких учащихся как \(x\).

Теперь можем использовать информацию о том, что всего в классе 25 человек, чтобы составить уравнение:

\[ |M \cup I| = |M| + |I| - |M \cap I| \]

Здесь:

• \( |M \cup I| \) — количество учащихся, участвовавших хотя бы в одной олимпиаде (это не может превышать 25),
• \( |M| = 17 \),
• \( |I| = 14 \),
• \( |M \cap I| = x \) (количество учащихся, участвующих в обеих олимпиадах).

Таким образом, у нас есть:

\[ |M \cup I| = 17 + 14 - x \]

И поскольку \( |M \cup I| \leq 25 \), получаем:

\[ 17 + 14 - x \leq 25 \] \[ 31 - x \leq 25 \] \[ x \geq 6 \]

Это означает, что как минимум 6 учащихся участвовали в обеих олимпиадах.

Теперь давайте проанализируем каждое из утверждений:

Утверждение А

"В этом классе нет учащихся, не участвовавших ни в одной из этих олимпиад."

Мы знаем, что минимум 6 участвуют в обеих олимпиадах. Таким образом, максимальное количество учащихся, не участвовавших ни в одной из олимпиад, определяется как:

\[ n_0 = 25 - |M \cup I| = 25 - (31 - x) = x - 6 \]

При минимальном \(x = 6\), \(n_0 = 0\). Таким образом, можно рассуждать, что при большем \(x\) будет больше и учащихся, не участвовавших ни в одной олимпиаде. Следовательно, утверждение неверное.

Утверждение Б

"В этом классе обязательно найдутся пять учащихся, участвовавших в каждой из этих двух олимпиад."

Мы уже установили, что минимальное количество учащихся, участвующих в обеих олимпиадах, составляет 6. Следовательно, это утверждение верное.

Утверждение В

"В этом классе обязательно найдутся пять учащихся, не участвовавших в Олимпиаде по информатике, но участвовавших в олимпиаде по математике."

Давайте найдем количество учащихся, участвовавших только в математике:

\[ |M| - x = 17 - x \]

При \(x = 6\), это будет:

\[ 17 - 6 = 11 \]

При \(x\) увеличении количество этих учащихся может уменьшиться, но все равно останется не менее 11. Следовательно, среди них точно найдется 5 учеников, которые участвовали только в олимпиаде по математике, так что утверждение верное.

Утверждение Г

"В этом классе количество учащихся, участвовавших только в одной из этих двух олимпиад, обязательно больше количества учащихся, не участвовавших ни в одной из этих двух олимпиад."

Количество учащихся, участвовавших только в математике:

\[ 17 - x \]

Количество учащихся, участвовавших только в информатике:

\[ 14 - x \]

Общее количество учащихся, участвовавших только в одной олимпиаде:

\[ (17 - x) + (14 - x) = 31 - 2x \]

Сравним это с количеством учащихся, не заинтересованных ни в одной олимпиаде:

\[ n_0 = x - 6 \]

Чтобы утверждение было верным, должно выполняться следующее неравенство:

\[ 31 - 2x > x - 6 \] \[ 37 > 3x \] \[ \frac{37}{3} > x \]

При минимальном \(x\) (то есть 6) у нас в итоге получается:

\[ 31 - 12 > 0 \Rightarrow 19 > 0 \]

Таким образом, это неравенство выполняется. Следовательно, утверждение верное.

Вывод

• А) Неверно
• Б) Верно
• В) Верно
• Г) Верно