Чтобы найти расстояние между двумя пунктами, где катер прошел вниз по течению и вверх против течения, мы можем воспользоваться следующими данными:
- Скорость течения реки: ( v_t = 3 ) км/ч.
- Время в пути вниз по течению: ( t_1 = 5 ) часов.
- Время в пути против течения: ( t_2 = 5.6 ) часов.
Обозначим:
- ( v_k ) — скорость катера в стоячей воде (км/ч).
- ( d ) — расстояние между двумя пунктами (км).
Шаг 1: Выразим скорости катера
Когда катер плывет вниз по течению, его скорость будет равна скорости катера плюс скорость течения:
[
v_{\text{вниз}} = v_k + v_t
]
Когда катер плывет против течения, его скорость будет равна скорости катера минус скорость течения:
[
v_{\text{вверх}} = v_k - v_t
]
Шаг 2: Запишем уравнения для расстояния
Расстояние можно выразить через скорость и время:
Для пути вниз по течению:
[
d = (v_k + v_t) \cdot t_1
]
Для пути против течения:
[
d = (v_k - v_t) \cdot t_2
]
Шаг 3: Подставим известные значения
Теперь подставим известные значения в оба уравнения:
- Для движения вниз по течению:
[
d = (v_k + 3) \cdot 5
]
- Для движения против течения:
[
d = (v_k - 3) \cdot 5.6
]
Шаг 4: Приведем уравнения к одному виду
Так как оба значения ( d ) равны, можем приравнять уравнения:
[
(v_k + 3) \cdot 5 = (v_k - 3) \cdot 5.6
]
Шаг 5: Раскроем скобки и решим уравнение
Раскроем обе стороны уравнения:
[
5v_k + 15 = 5.6v_k - 16.8
]
Теперь перенесем все ( v_k ) на одну сторону:
[
5.6v_k - 5v_k = 15 + 16.8
]
Упростим:
[
0.6v_k = 31.8
]
Теперь решим для ( v_k ):
[
v_k = \frac{31.8}{0.6} = 53
]
Шаг 6: Найдем расстояние
Теперь, подставим значение ( v_k ) обратно в одно из уравнений для расстояния. Посчитаем расстояние, используя первое уравнение:
[
d = (53 + 3) \cdot 5 = 56 \cdot 5 = 280 \text{ км}
]
Ответ
Расстояние между двумя пунктами составляет 280 километров.
