Постройте график функции y = x ^ 2 - |4x + 4| Определите, при каких значениях с прямая y = c не имеет с графиком данной функции общих точек.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа функции \( y = x^2 - |4x + 4| \) и построим её график. Затем определим значения \( c \), при которых прямая \( y = c \) не пересекается с графиком этой функции. ### Шаг 1: Определение функций для графика Функция состоит из двух частей: \( x^2 \) и \( -|4x + 4| \). Для того чтобы построить график этой функции, нужно понять, как выглядит выражение \( |4x + 4| \). #### Решим \( |4x + 4| \): 1. **Находим ноль внутри модуля:** \[ 4x + 4 = 0 \implies x = -1 \] 2. **Разделим область на два интервала:** - Если \( x < -1 \), то \( |4x + 4| = -(4x + 4) = -4x - 4 \). - Если \( x \geq -1 \), то \( |4x + 4| = 4x + 4 \). ### Шаг 2: Запишем функцию в двух частях Таким образом, можно разделить нашу функцию на два случая: 1. **Для \( x < -1 \):** \[ y = x^2 - (-4x - 4) = x^2 + 4x + 4 \] Это можно представить как: \[ y = (x + 2)^2 \quad (\text{парабола, открытая вверх, вершина в } (-2, 0)) \] 2. **Для \( x \geq -1 \):** \[ y = x^2 - (4x + 4) = x^2 - 4x - 4 \] Это - парабола, открытая вверх, и также можем выразить её в виде: \[ y = (x - 2)^2 - 8 \quad (\text{вершина } (2, -8)) \] ### Шаг 3: Построение графика Теперь можно построить график функции, который будет состоять из двух частей: - Парабола \( y = (x + 2)^2 \) для \( x < -1 \). - Парабола \( y = (x - 2)^2 - 8 \) для \( x \geq -1 \). ### Шаг 4: Находим общие точки с прямой \( y = c \) Чтобы прямая \( y = c \) не имела общих точек с графиком функции, необходимо, чтобы \( c \) был меньше минимального значения функции на соответствующем интервале. 1. **Для \( x < -1 \):** Минимальное значение функции \( (x + 2)^2 \) достигается при \( x = -2 \). Подставляем: \[ y(-2) = (-2 + 2)^2 = 0 \] 2. **Для \( x \geq -1 \):** Минимальное значение функции \( (x - 2)^2 - 8 \) достигается при \( x = 2 \): \[ y(2) = (2 - 2)^2 - 8 = -8 \] ### Шаг 5: Итоговые значения c Таким образом: - Для \( x < -1 \), минимальное значение \( y \) равно \( 0 \). - Для \( x \geq -1 \), минимальное значение \( y \) равно \( -8 \). **Вывод:** Прямая \( y = c \) не будет пересекаться с графиком функции \( y = x^2 - |4x + 4| \), если: - \( c < -8 \) или - \( 0 < c < -8 \) (это невозможно, так что просто \( c < -8 \)). ### Заключение Прямая не имеет общих точек с графиком функции, если \( c < -8 \).