Постройте график функции y = x ^ 2 - |4x + 4| Определите, при каких значениях с прямая y = c не имеет с графиком данной функции общих точек.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа функции \( y = x^2 - |4x + 4| \) и построим её график. Затем определим значения \( c \), при которых прямая \( y = c \) не пересекается с графиком этой функции.

Шаг 1: Определение функций для графика

Функция состоит из двух частей: \( x^2 \) и \( -|4x + 4| \). Для того чтобы построить график этой функции, нужно понять, как выглядит выражение \( |4x + 4| \).

Решим \( |4x + 4| \):

1. Находим ноль внутри модуля: \[ 4x + 4 = 0 \implies x = -1 \]

2. Разделим область на два интервала:

   • Если \( x < -1 \), то \( |4x + 4| = -(4x + 4) = -4x - 4 \).
   • Если \( x \geq -1 \), то \( |4x + 4| = 4x + 4 \).

Шаг 2: Запишем функцию в двух частях

Таким образом, можно разделить нашу функцию на два случая:

1. Для \( x < -1 \): \[ y = x^2 - (-4x - 4) = x^2 + 4x + 4 \] Это можно представить как: \[ y = (x + 2)^2 \quad (\text{парабола, открытая вверх, вершина в } (-2, 0)) \]

2. Для \( x \geq -1 \): \[ y = x^2 - (4x + 4) = x^2 - 4x - 4 \] Это - парабола, открытая вверх, и также можем выразить её в виде: \[ y = (x - 2)^2 - 8 \quad (\text{вершина } (2, -8)) \]

Шаг 3: Построение графика

Теперь можно построить график функции, который будет состоять из двух частей:

• Парабола \( y = (x + 2)^2 \) для \( x < -1 \).
• Парабола \( y = (x - 2)^2 - 8 \) для \( x \geq -1 \).

Шаг 4: Находим общие точки с прямой \( y = c \)

Чтобы прямая \( y = c \) не имела общих точек с графиком функции, необходимо, чтобы \( c \) был меньше минимального значения функции на соответствующем интервале.

1. Для \( x < -1 \): Минимальное значение функции \( (x + 2)^2 \) достигается при \( x = -2 \). Подставляем: \[ y(-2) = (-2 + 2)^2 = 0 \]

2. Для \( x \geq -1 \): Минимальное значение функции \( (x - 2)^2 - 8 \) достигается при \( x = 2 \): \[ y(2) = (2 - 2)^2 - 8 = -8 \]

Шаг 5: Итоговые значения c

Таким образом:

• Для \( x < -1 \), минимальное значение \( y \) равно \( 0 \).
• Для \( x \geq -1 \), минимальное значение \( y \) равно \( -8 \).

Вывод: Прямая \( y = c \) не будет пересекаться с графиком функции \( y = x^2 - |4x + 4| \), если:

• \( c < -8 \) или
• \( 0 < c < -8 \) (это невозможно, так что просто \( c < -8 \)).

Заключение

Прямая не имеет общих точек с графиком функции, если \( c < -8 \).