1. Курьер должен развести пиццу по шести адресам. Сколько маршрутов он может выбрать? 2. Делится ли число 50! на: а) 400,6)98;в)5102 3. Используя четные цифры 0,2,4,6,8, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются 4. В группе 9 студентов хорошо владеют иностранным языком. Сколькими способами можно выбрать из них четверых для работы на практике с иностранцами?

Давайте решим каждую из ваших задач по порядку. ### Задача 1 **Курьер должен развести пиццу по шести адресам. Сколько маршрутов он может выбрать?** Чтобы определить, сколько различных маршрутов курьер может выбрать для доставки пиццы по шести адресам, мы используем формулу перестановок. Если курьер должен посетить 6 различных мест (адресов) единожды, то он может выбрать порядок доставки для этих адресов. Количество различных способов (= количество маршрутов) можно вычислить как факториал числа 6: \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720. \] Таким образом, курьер может выбрать 720 различных маршрутов. ### Задача 2 **Делится ли число 50! на:** - а) 400, - б) 98, - в) 5102? Чтобы определить, делится ли 50! на каждое из этих чисел, нужно проанализировать их делимость. 1. **400 = 2^4 × 5^2** В числителе (50!) есть много четных чисел, и можно подсчитать количество двойки и пятерок: - Количество единиц двойки в 50!: \( \left\lfloor \frac{50}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{16} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{32} \right\rfloor = 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47. \) - Количество единиц пятерки в 50!: \( \left\lfloor \frac{50}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{25} \right\rfloor = 10 + 2 = 12. \) Поскольку 47 ≥ 4 и 12 ≥ 2, 50! делится на 400. 2. **98 = 2 × 7^2** Количество двойки тоже 47, как показано выше. Количество единиц семерки в 50!: \( \left\lfloor \frac{50}{7} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{49} \right\rfloor = 7 + 1 = 8. \) Поскольку 47 ≥ 1 и 8 ≥ 2, 50! делится на 98. 3. **5102 = 2 × 5 × 509** Количество двойки: 47, количество пятерки: 12. Но 509 — это простое число, и нам нужно посчитать количество 509 в 50! Эквивалентно нулю, так как 50 меньше 509. Следовательно, 50! **не делится** на 5102. ### Задача 3 **Используя четные цифры 0, 2, 4, 6, 8, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.** Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Всего = 5 цифр. **Шаг 1:** Первая цифра (сотни) не может быть 0, т.е. возможные варианты для первой цифры: 2, 4, 6, 8 (4 варианта). **Шаг 2:** После выбора первой цифры, у нас остается 4 цифры (включая 0). Мы можем выбрать любую из них для второй цифры (4 варианта). **Шаг 3:** После выбора второй цифры остаётся 3 варианты для третьей. Подсчет: \[ \text{Количество 3-значных чисел} = 4 \times 4 \times 3 = 48. \] Таким образом, возможно составить 48 различных трехзначных чисел. ### Задача 4 **В группе 9 студентов хорошо владеют иностранным языком. Сколькими способами можно выбрать из них четверых для работы на практике с иностранцами?** Эта задача решается с использованием комбинаторики, а именно формулы сочетаний. К-во способов выбрать k из n: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \] Где n = 9 (количество студентов), k = 4 (размер группы). Подставляя числа: \[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126. \] Таким образом, существует 126 способов выбрать четверых студентов для работы на практике с иностранцами.