Доказать, что наименьший положительный период функции y = sin x/2 равен 4 пи

Чтобы доказать, что наименьший положительный период функции \( y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) \) равен \( 4\pi \), нужно сначала вспомнить основные свойства тригонометрических функций.

1. Период функции \( \sin(x) \):
   Стандартная тригонометрическая функция \( \sin(x) \) имеет период \( 2\pi \). Это означает, что для любого значения \( x \) выполняется равенство: \[ \sin(x) = \sin(x + 2\pi n) \] где \( n \) — любое целое число.

2. Преобразование аргумента:
   Ваша функция \( y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) \) представляет собой сжатую по оси \( x \) функцию. Чтобы выяснить, как это влияет на её период, мы можем заменить \( x \) на \( \frac{x}{2} \).

3. Нахождение нового периода:
   Для функции \( \sin(kx) \) общий период можно вычислить по формуле: \[ \text{Период} = \frac{2\pi}{|k|} \] Здесь \( k \) — коэффициент перед \( x \) в аргументе синуса. В нашем случае: \[ k = \frac{1}{2} \] Подставим значение \( k \) в формулу для нахождения периода: \[ \text{Период} = \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{2}\right|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \times 2 = 4\pi \]

4. Итог:
   Мы выяснили, что период функции \( y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) \) равен \( 4\pi \). Это означает, что для любого значения \( x \): \[ \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2} + 4\pi n\right) \] где \( n \) — любое целое число. Таким образом, мы доказали, что наименьший положительный период данной функции равен \( 4\pi \).

Если остались вопросы или неясности, не стесняйтесь задавать их!