Денис и Настя получили задание — покрасить забор длиной 360 метров у бабушки в деревне. Они решили, что будут увеличивать норму покраски на одно и то же число метров каждый день.…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с обозначений и анализа данных.

1. Обозначения:

   • Пусть \( d \) — количество дней, которые понадобились Денису и Насте для покраски забора.
   • Пусть \( x \) — количество метров, которые они увеличивают норму покраски каждый день.
   • Т.е. в первый день они покрасили \( a \) метров, а в последний, следовательно, \( a + (d - 1)x \) метров.

2. Дано:

   • Длина забора: \( 360 \) метров.
   • Сумма покраски первого и последнего дня: \( a + (a + (d - 1)x) = 60 \) метров.

3. Упрощаем второе уравнение:

   • \( 2a + (d - 1)x = 60 \) (1)

4. Общая формула для всей покраски:

   • Площадь, которую они покрасили за все \( d \) дней, можно выразить как сумму арифметической прогрессии: \[ S = a + (a + x) + (a + 2x) + ... + (a + (d - 1)x) \] Эта сумма равна: \[ S = d \cdot a + x \cdot \frac{(d - 1)d}{2} \] Однако, можно также использовать простую формулу для суммы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{d}{2} \cdot (a + (a + (d - 1)x)) = \frac{d}{2} \cdot (2a + (d - 1)x) \] Мы знаем, что эта сумма равна 360 метрам: \[ \frac{d}{2} \cdot (2a + (d - 1)x) = 360 \quad (2) \]

5. Теперь решим систему уравнений (1) и (2):

Из уравнения (1): \[ 2a = 60 - (d - 1)x \] Подставим это значение во второе уравнение (2): \[ \frac{d}{2} \cdot (60 - (d - 1)x) = 360 \] Умножим обе стороны на 2: \[ d \cdot (60 - (d - 1)x) = 720 \] Теперь раскроем скобки: \[ 60d - d(d - 1)x = 720 \] Переписываем уравнение: \[ d(d - 1)x = 60d - 720 \] Если \( d \neq 0 \), можно разделить на \( d \): \[ (d - 1)x = 60 - \frac{720}{d} \]

6. Решим уравнение для различных значений \( d \). Поскольку \( d \) — количество дней, оно должно быть целым и положительным.

Пробуем разные целые значения \( d \):

• Для \( d = 12 \): \[ (12 - 1)x = 60 - \frac{720}{12} \Rightarrow 11x = 60 - 60 \Rightarrow 0 \]
• Для \( d = 10 \): \[ (10 - 1)x = 60 - \frac{720}{10} \Rightarrow 9x = 60 - 72 \Rightarrow 9x = -12 \,(\text{Не подходит}) \]
• Для \( d = 15 \): \[ (15 - 1)x = 60 - \frac{720}{15} \Rightarrow 14x = 60 - 48 \Rightarrow 14x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \,(\text{Не подходит}) \]

В итоге, точное значение можно найти. Для проверки:

При \( d = 10 \) (при условии, что они не превышают 360 метров):

• \( x = 3 \)
• \( d = 15 \)

7. Финальный ответ: Ребята потратили 12 дней на покраску забора.