Денис и Настя получили задание — покрасить забор длиной 360 метров у бабушки в деревне. Они решили, что будут увеличивать норму покраски на одно и то же число метров каждый день. Закончив работу, ребята посчитали, что за первый и последний день в сумме они покрасили 60 метров забора. Сколько дней ушло у них на покраску забора?

Чтобы решить задачу, давайте начнем с обозначений и анализа данных. 1. **Обозначения**: - Пусть \( d \) — количество дней, которые понадобились Денису и Насте для покраски забора. - Пусть \( x \) — количество метров, которые они увеличивают норму покраски каждый день. - Т.е. в первый день они покрасили \( a \) метров, а в последний, следовательно, \( a + (d - 1)x \) метров. 2. **Дано**: - Длина забора: \( 360 \) метров. - Сумма покраски первого и последнего дня: \( a + (a + (d - 1)x) = 60 \) метров. 3. **Упрощаем второе уравнение**: - \( 2a + (d - 1)x = 60 \) (1) 4. **Общая формула для всей покраски**: - Площадь, которую они покрасили за все \( d \) дней, можно выразить как сумму арифметической прогрессии: \[ S = a + (a + x) + (a + 2x) + ... + (a + (d - 1)x) \] Эта сумма равна: \[ S = d \cdot a + x \cdot \frac{(d - 1)d}{2} \] Однако, можно также использовать простую формулу для суммы арифметической прогрессии: \[ S = \frac{d}{2} \cdot (a + (a + (d - 1)x)) = \frac{d}{2} \cdot (2a + (d - 1)x) \] Мы знаем, что эта сумма равна 360 метрам: \[ \frac{d}{2} \cdot (2a + (d - 1)x) = 360 \quad (2) \] 5. **Теперь решим систему уравнений (1) и (2)**: Из уравнения (1): \[ 2a = 60 - (d - 1)x \] Подставим это значение во второе уравнение (2): \[ \frac{d}{2} \cdot (60 - (d - 1)x) = 360 \] Умножим обе стороны на 2: \[ d \cdot (60 - (d - 1)x) = 720 \] Теперь раскроем скобки: \[ 60d - d(d - 1)x = 720 \] Переписываем уравнение: \[ d(d - 1)x = 60d - 720 \] Если \( d \neq 0 \), можно разделить на \( d \): \[ (d - 1)x = 60 - \frac{720}{d} \] 6. **Решим уравнение для различных значений \( d \)**. Поскольку \( d \) — количество дней, оно должно быть целым и положительным. Пробуем разные целые значения \( d \): - Для \( d = 12 \): \[ (12 - 1)x = 60 - \frac{720}{12} \Rightarrow 11x = 60 - 60 \Rightarrow 0 \] - Для \( d = 10 \): \[ (10 - 1)x = 60 - \frac{720}{10} \Rightarrow 9x = 60 - 72 \Rightarrow 9x = -12 \,(\text{Не подходит}) \] - Для \( d = 15 \): \[ (15 - 1)x = 60 - \frac{720}{15} \Rightarrow 14x = 60 - 48 \Rightarrow 14x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \,(\text{Не подходит}) \] В итоге, точное значение можно найти. Для проверки: При \( d = 10 \) (при условии, что они не превышают 360 метров): - \( x = 3 \) - \( d = 15 \) 7. **Финальный ответ**: Ребята потратили **12 дней** на покраску забора.